«Геометрические решения экстремальных геометрических задач» (стр. 2 из 3)

Ответ:

Задача 5 (УрГУ).

К кривой

в точках с абсциссами и проведены касательные. При каком значении b периметр треугольника, образованного проведенными касательными и осью Oy, будет наименьшим?

Решение.

Уравнения касательных к заданной параболе в точках с абсциссами и соответственно имеют вид y₁=(b-2)x+1, у₂=(b-2)х -7.

Отсюда две вершины треугольника, о котором говорится в условии, имеют координаты M(0;1) и N(0;-7), а третья — К(-2; 5-2b) (рис. 5). Следовательно, нужно найти такое положение точки К на прямой х = - 2, при котором сумма MK + KN была бы наименьшей.

Покажем, что искомая точка — это точка пересечения прямых х=-2 и РМ, где точка Р симметрична точке N относительно прямой х = - 2. Пусть К' произвольная точка прямой х = — 2, отличная от К. Имеем

МК' + K'N=MK'+PK'>MP = РК + КМ = KN + КМ.

Поскольку средняя линия треугольника PMN лежит на прямой х = — 2, треугольник MKN равнобедренный; тогда ордината точки К равна —3. Отсюда 5—2b = —3, b = 4.

Ответ: b = 4.

Задача 6 (МФТИ).

В основании прямой призмы

лежит ромб ABCD с углом . Длины всех ребер призмы равны 1. Точка F — середина ребра DC, а точка М лежит на прямой A F. Определите наименьшее значение суммы площадей треугольников МВВ₁ и МСС₁

Решение.

Пусть МК и ML — высоты соответственно треугольников МВВ₁ и МСС₁ (рис. 6), М₁ — проекция точки М на плоскость ABC. Тогда М₁В=МК, M₁C=ML и

Как и в предыдущей задаче, сумма M₁B + M₁C принимает наименьшее значение, если M₁ — точка пересечения прямых AF и BE, где Е — точка, симметричная точке С относительно прямой AF (рис. 7).

Осталось найти длину отрезка BE. По теореме косинусов

,

где

. Проведем в треугольнике ADF высоту DN. Видно, что СЕ=2DN и FCE= NDF. Но

Из

по Т. косинусов

Ответ:

Задача 7 (МАИ).

В треугольной пирамиде SABC все ребра имеют одинаковую длину, равную l . На ребре SA взята точка М так, что SM =

, на ребре SB взята точка N, а на плоскости ABC взята точка Р. Найдите наименьшую величину суммы длин отрезков MN и NP.

Решение.

Длина отрезка NP минимальна, если Р — проекция точки N на плоскость ABC. Очевидно, что Р принадлежит медиане BE правильного треугольника ABC (рис. 8). Теперь нужно найти кратчайшее расстояние от данной точки М до прямой BE по поверхности двугранного угла, образованного плоскостями ABS и BSE. Это все равно, что найти расстояние от точки до прямой на плоской развертке этого двугранного угла.

Рассмотрим такую развертку. Для этого в плоскости SBE построим треугольник SA₁В, равный треугольнику ASB (рис. 9). На стороне SA₁ отметим точку M₁, в которую при раз- разворачивании двугранного угла пере- переходит точка М, так что SM₁=

. Как известно, кратчайшее расстояние от точки до прямой есть перпендикуляр, опущенный из данной точки на данную прямую. Поэтому проведем М₁P1

BE. Очевидно, что сумма
MN+NP=M₁N+NP минимальна тогда и только тогда, когда Р=Р₁ и N = Q. Осталось выяснить, чему равна длина отрезка М₁Р₁.

Проведем SK

M₁P₁. Пусть

KSB = SBE = α. Высота SO пирамиды равна . Тогда M₁P₁ = M₁K+SO= .

Выразив sin α и cos α из треугольников SBE и SBO, получим ответ:

Ответ:

Задача 8. (ЕГЭ-2007)

Отрезок АВ – диаметр сферы. Точки С и D лежат на сфере так, что объем пирамиды ABCD наибольший. Найдите этот объем, если радиус сферы равен 1 см.

Решение.

Чтобы объем пирамиды был наибольший, должна быть наибольшей высота этой пирамиды и площадь основания, так как

Так как A и B принадлежат диаметру сферу, то

опирается на диаметр, а значит
=90⁰ => - прямоугольный.

Наибольшую площадь из всех прямоугольных треугольников имеет равнобедренный прямоугольный треугольник; т.к. АВ- const, то высота СН должна быть наибольшей, а значит СН=R и

- прямоугольный равнобедренный.

Аналогично рассуждаем для

, т.е. получаем, что DH=R.

=

Ответ:

Задачи для самостоятельного решения

Конечно, все эти задачи можно решать путем составления функции и исследования ее на экстремум. Но решение будет куда более громоздким.

Также для решения рекомендуются задачи, собранные по этой теме из вступительных экзаменов прошлых лет в различные Российские ВУЗы.

1. (МАИ). Найдите длины сторон параллелограмма ABCD наибольшей площади, если известно, что его вершина А удалена от середины сторон ВС и CD на 6 и 8 единиц соответственно.

2. Две дуги окружностей радиусами R с центрами в точках А и В таких, что AB=R, пересекаются в точке С. Впишите в криволинейный треугольник ABC равнобедренную трапецию наибольшей площади.

3. (ЛГУ). Даны точки А(0;3), В(4;5)На оси Ох найдите такую точку С, чтобы периметр треугольника ABC был наименьшим.

4. (ЛГУ). Боковые стороны трапеции перпендикулярны. Какое наибольшее значение может иметь площадь треугольника, образованного диагоналями и средней линией трапеции, если известно, что длины оснований трапеций равны a и b?

5. На координатной плоскости рассматриваются правильные треугольники, у которых две вершины лежат на прямой y=х+2, а координаты третьей вершины удовлетворяют неравенству

.Найдите наибольшее возможное значение площади рассматриваемых треугольников.

6. (УГУ). К кривой у=x^-3+bx в точках c абсциссами x₁=0 и x₂=-3/2 проведены 2 касательные. При каком значении b периметр треугольника, образованного проведенными касательными и осью Оу, будет наименьшим?

7. (МФТИ). Точка D является серединой ребра BB₁ правильной треугольной призмы АВСА₁В₁С₁. На боковой грани AA₁C₁C взята точка Е, на основании ABC — точка F так, что прямые ЕВ₁ и FD параллельны. Какой наибольший объем может иметь призма АBСА₁В₁С_1, если ЕВ₁= 1, FD=3/4, EF=

.