«Геометрические решения экстремальных геометрических задач» (стр. 1 из 3)

Большую часть своих усилий человек тратит на поиск наилучшего, т.е. оптимального решения поставленной задачи. Как, располагая определенными ресурсами, добиваться наиболее высокого жизненного уровня, наивысшей производительности труда, наименьших потерь, максимальной прибыли, минимальной затраты времени. Так ставятся вопросы, над которыми приходится думать каждому члену общества.
Математикам удалось разработать методы решения задач на наибольшее и наименьшее значение, или, как их еще называют, задач на оптимизацию (от латинского «оптимум» - наилучший). Многие задачи, поиска оптимальных решений, могут быть решены только с использованием методов дифференциального исчисления. Ряд задач такого типа решается с помощью специальных методов линейного программирования, но существуют и такие экстремальные задачи, которые решаются средствами элементарной математики и геометрии.
Задачи, связанные с нахождением наибольших и наименьших значений геометрических величин, неспроста пользуются большой популярностью у составителей экзаменационных заданий: ведь чтобы решить подобную задачу, абитуриенту приходится комбинировать приемы и методы из весьма различных разделов школьного курса математики. Первое, что приходит в голову,— составить с помощью заданных параметров функцию и исследовать ее на максимум и минимум. У такого подхода, тем не менее, есть недостаток: во многих геометрических задачах этот привычный путь решения сопряжен со значительными техническими трудностями. Часто, однако, удается избавиться от громоздких выкладок, обойдясь чисто геометрическими рассуждениями.

Задача моей работы заключается в следующем:

· Изучить данный способ решения геометрических экстремальных задач

· Научиться решать такие задачи геометрическим способом

Также сейчас в заданиях Единого Государственного Экзамена встречаются задачи на нахождение наименьшего и набольшего значений, которые легко решаются данным способом. И в своей работе я представлю решения некоторых подобных задач.

Далее представлены примеры и решения геометрических экстремальных задач геометрическим способом.
Задачи

Задача 1 (МЭСИ). На отрезках АВ и АС как на диаметрах построены полуокружности. В общую часть двух образовавшихся полукругов вписана окружность максимального радиуса. Найдите радиус этой окружности, если АВ=4, АС = 2,

ВАС = 120°.

Решение.

Пусть

— середины соответственно отрезков АВ и АС (рис. 1). Тогда

. Пусть r — радиус окружности, о которой говорится в условии задачи, О — ее центр. Для точек

имеем

, или 1 - r + 2

.
Отсюда

. Очевидно, знак равенства достигается лишь в том случае, когда точка O принадлежит отрезку

Ответ:

Задача 2 (МАИ). Найдите периметр треугольника наибольшей площади, образованного большим основанием и продолжением боковых сторон трапеции, если известно, что длина верхнего основания трапеции в два раза меньше длины ее нижнего основания, а диагонали равны 5 и 6.

Решение.

Пусть ВС и AD —основания трапеции (рис. 2), ВС =

AD. Выходит, что ВС — средняя линия треугольника AED. Тогда

Следовательно, площадь треугольника AED достигает максимального значения при максимальной площади трапеции ABCD. Очевидно,

, т. е. площадь данной трапеции максимальна, если ее диагонали перпендикулярны. Итак, искомый периметр — это периметр треугольника с перпендикулярными медианами:

Ответ:

Задача 3 (МАИ). В треугольнике ABC биссектриса, проведенная из вершины А, имеет длину 2, и АВ= 2АС. На стороне АВ взята точка М, а на стороне АС — точка N так, что BM=AN. Найдите наименьшее возможное расстояние от середины отрезка MN до вершины А.

Решение.

Пусть Q — середина отрезка MN, К — точка пересечения биссектрисы угла ВАС и ВС. Спроектируем точки М, N, Q и В на биссектрису угла ВАС (рис.3).
Тогда

Пусть AC=m, AB = 2m,

. Тогда

Отсюда

Следовательно, искомое расстояние принимает наименьшее значение, когда середина Q отрезка MN лежит на биссектрисе.

Для площади треугольника ABC имеем

Или

Отсюда

Ответ: 1,5

Задача 4 (МИСиС).

В параболу

вписан четырехугольник ABCD наибольшей площади с диагоналями АС и BD. Найдите координаты вершины С, если А(-3; -4), В(-2; -1), D(1;-4) .

Решение.

Так как точки А, В, D лежат на параболе, то их координаты удовлетворяют ее уравнению:

откуда a= -1, b= -2, c= -1.

Итак, уравнение заданной параболы найдено:

. В условии указано, что АС — диагональ четырехугольника ABCD, значит, точка С лежит на дуге BD параболы (рис. 4).

Для решения задачи достаточно найти координаты точки С, при которых площадь треугольника DBC максимальна, что, в свою очередь, равносильно поиску на дуге BD точки, максимально удаленной от прямой BD. Пусть l — касательная к параболе, параллельная BD. В силу характера выпуклости квадратичной функции все точки параболы лежат в одной полуплоскости относительно прямой l. Следовательно, точкой, максимально удаленной от прямой BD, будет точка касания.

Так как прямая BD невертикальная, то ее уравнение имеет вид y=kx+d. Зная координаты точек В и D, легко установить, что k = - 1. Значит, угловой коэффициент касательной l равен -1, т. е. производная квадратичной функции, задающей параболу, в точке касания равна -1. Имеем -2(х₀ + 1)= —1, где х₀—абсцисса точки касания; отсюда х₀= -