по математике: Свойства функций в пословицах и поговорках (стр. 2 из 2)
Иными словами, функция убывает на промежутке Х, если, какие бы два значения аргумента, принадлежащие этому промежутку, ни взять, окажется, что большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции.
«Дальше кумы – меньше греха».
Функция, которая показывает, как изменяется мера греха по мере удаления от кумы, монотонно убывающая.
 |
м
е
р
а
г
р
е
х
а
Расстояние до кумы
4.Ограниченные функции.
Определение: Функция f, определённая на множестве Х, называется ограниченной на множестве Х1
Х, если f (x1), т.е. множество её значений на множестве Х1, ограничено, т.е. если существуют постоянные m и M такие, что для всех значений x из Х1 выполняется неравенствоm ≤f(x)≤M.
В противном случае функция называется неограниченной.
Функция y=f(x) называется ограниченной сверху (снизу) на промежутке Х, если существует такое число k, что для всех
выполняется неравенство f(x)≤k (f(x)≥k).Функция ограничена снизу, если весь ее график расположен выше некоторой горизонтальной прямой y=m;
Функция ограничена сверху, если весь ее график расположен ниже некоторой горизонтальной прямой y=M.
«Выше меры конь не скачет». Если изобразить траекторию скачущего коня, то высота скачков в полном соответствии с пословицей будет ограничена сверху некоторой «мерой».
«Мера»
Расстояние
5. Максимум функции.
Определение: Пусть функция у =f(x) определена в некоторой окрестности точки x0.
Функция у =f (x) имеет максимум в точке x0, если существует такая б – окрестность точки x0, что при x0 – б <х< x0 + б выполняется неравенство f (x) < f(x0),т.е. значение функции в этой точке больше, чем её значение во всех других точках, достаточно близких к x0.
«Пересев хуже недосева», - издавна говорили земледельцы. Вековой опыт свидетельствовал: урожай лишь до некоторой поры растет вместе с плотностью посева, дальше он снижается, потому что при чрезмерной густоте ростки начинают глушить друг друга.
Эта закономерность станет особенно наглядной, если изобразить её графиком, где урожай представлен как функция плотности посева. Урожай максимален, когда поле засеяно в меру. Максимум – это наибольшее значение функции по сравнению с её значениями во всех соседних точках. Это как бы вершина горы, с которой все дороги ведут только вниз, куда ни шагни.
у у f(a)- максимум
р
о
ж
а
й
а х
плотность посева
«Недосол на столе – пересол на спине». Качество пищи зависит, является функцией от количества соли в ней. Мало соли – невкусно, много – тоже в рот не возьмёшь. А где-то в промежутке, в золотой середине, когда соли в самый раз, кушанье становится особенно лакомым. В этой точке кулинарная функция достигает максимума. Малейший щепотью соли больше или меньше – и дегустатор с утончённым вкусом скажет, что качество пищи снизилось.
6. Вогнутость и выпуклость функции.
«Не круто начинай, круто кончай». Эта пословица заслуживает того, чтобы быть включённой в правила научной организации труда. Тем более что за ней так и видится графическое выражение.
Повелительное звучание пословицы явно рассчитано на борьбу с противоположной, весьма распространенной манерой работы. На нее тоже есть своя пословица:
«Горяч на почине, да скоро остыл».
р
р а
а б
б о
о т
т а
а
время время
Обе функции, представленные на графиках зависящими от времени, возрастающие. Но, как свидетельствуют кривые, расти можно по-разному.
Рост одной функции усиливается с ростом аргумента. Такое свойство функции называется вогнутостью. Парабола вершиной вниз представляет собой вогнутую функцию: сначала она спадает всё замедляющимися темпами, потом нарастает всё ускоряющимися. Вогнутой функцией является и гипербола, построенная для положительных значений аргумента.
Наклон другой кривой неизменно уменьшается. Рост функции слабеет с ростом аргумента. Такое свойство функции называется выпуклостью. Выпуклую параболу выписывает и снаряд, выпущенный из пушки под углом к горизонту. Но присмотритесь подольше к его полёту: достигнув максимальной высоты, он начинает падать; однако искривление его траектории сохраняет прежний характер. Всё усиливающийся спад – это выпуклость. Выпуклой функцией является и гипербола, построенная для отрицательных значений аргумента.
7. Периодичность функции.
Определение: Функция y = f(x) называется периодической, если существует такое отличное от нуля число Т, что для любого x из области определения функции справедливо равенство f (x + T) = f(x) = f(x – T). Число Т называется периодом функции y = f(x).
«Это сказка про белого бычка». Так говорят, когда
какое-то дело безнадёжно затягивается, когда раз за разом попытки уладить его приводят к пустому или бессмысленному результату.
Поговорку знают все, но не каждый знает, как рассказывается сказка. Важная деталь рассказа – реакция слушателя. Сказка представляет собой диалог:
- Рассказать тебе сказку про белого бычка?
- Расскажи.
- Ты расскажи, я расскажи. Рассказать тебе сказку про белого бычка?
- Так давай же!
- Ты так давай же, я так давай же. Рассказать тебе сказку про белого бычка?
- Ну хватит!
- Ты ну хватит… и так далее.
Ссылку на сказку про белого бычка часто заменяют цитированием первых слов песни «У попа была собака». Ради полноты приведём и её.
«У попа была собака. Он её любил. Она съела кусок мяса. Он её убил. И в землю закопал. И надпись написал: «У попа была собака. Он её любил…» и так далее.
Белый бычок и поповская собака нужны нам для разговора о периодических функциях, для уяснения математического понятия периода и тех искажений, которые привносятся в него обыденной речью.
Периодичностью в обыденной речи называют чуть ли не всякую повторяемость. Но повторяемость может быть более или менее строгой. Достаточно сравнить между собой приведенные тексты: во втором, какую букву ни возьми, она обязательно повториться через 89 букв. Про первый текст такого не скажешь.
В обыденной речи утвердилось выражение «период солнечной активности». Если бы все явления на Солнце подчинялись строгой периодичности, их можно было бы предсказывать на сколь угодный долгий срок. Стала бы не нужна всемирная служба Солнца с её круглосуточными наблюдениями за дневным светилом, потеряли бы свой хлеб астрономы, пытающиеся определить, как в ближайшее время изменится количество солнечных пятен, интенсивность солнечных вспышек и т.п.
Прекрасные примеры периодических функций даёт тригонометрия: синус, косинус, тангенс… Для синуса и косинуса период составляет 3600, для тангенса – 1800.
Заключение.
Современная математика знает множество функций, и у каждой свой неповторимый облик, как неповторим облик каждого из миллиардов людей, живущих на Земле.
Однако при всей непохожести одного человека на другого у каждого есть руки и голова, уши и рот.
Точно также облик каждой функции можно представить сложенным из набора характерных деталей. В них проявляются основные свойства функций.
Наблюдая различные процессы и явления, мы стараемся разглядеть самые существенные их черты, самые глубокие закономерности. Часто они оказываются общими для широчайшего круга наблюдаемых событий. Общей оказывается и математическая модель, построенная на основе этих закономерностей.
Математические формулы – лишь удобный язык для изложения идей и методов математики. Сами же эти идеи можно описать используя привычные и наглядные образы из окружающей жизни.
Литература:
1.Дорофеев Г. В. и др. Математика. Алгебра. Анализ данных. 9 кл.:
Учебник для общеобразовательных учреждений. – М.: Дрофа, 2004.
2.Гусев В. А., Мордкович А.Г. Математика: Справочные материалы: кн. для учащихся. – М.: Просвещение, 1998.
3. Глейзер Г. И. История математики в школе. – М.: Просвещение, 1982.
4. Виленкин Н. Я. Функции в природе и технике. –М.
5. Пухначев Ю., Попов Ю. Математика без формул. – М.: АО «Столетие», 1995