по математике: Свойства функций в пословицах и поговорках (стр. 1 из 2)
Муниципальное образовательное учреждение
«Средняя общеобразовательная школа № 7 г. Соль – Илецка
Оренбургской области»
Муниципальное образовательное учреждение
дополнительного образования детей
«Центр детского творчества Соль – Илецкого района
Оренбургской области»
Реферат по математике:
Свойства функций
в пословицах и поговорках.
(помещен на сайте http: // portfolio.1 september.ru Интернет – фестиваля исследовательских и творческих работ учащихся «Портфолио», проводимом Издательским Домом « Первое сентября»)
Работа ученицы 9а класса,
члена ДТО «Юный математик»
при Центре детского творчества
Соль – Илецкого района
Ивасюк Виктории Сергеевны.
Проверила :
учитель математики школы № 7,
руководитель ДТО «Юный математик»
Кузнецова Надежда Васильевна.
г. Соль – Илецк
2007г.
Содержание:
1. Введение _____________________________стр. 3
2. Из истории возникновения функций.
Определение функции ___________________стр. 4
3. Свойства функций в пословицах
и поговорках __________________________стр. 6
4. Заключение ___________________________стр. 13
5. Литература ____________________________стр. 14
Введение.
Функция – это одно из основных математических и общенаучных понятий, выражающее зависимость между переменными величинами.
Каждая область знаний: физика, химия, биология, социология, лингвистика и т. д. имеет свои объекты изучения, устанавливает свойства и, что особенно важно, взаимосвязи этих объектов.
В различных науках и областях человеческой деятельности возникают количественные соотношения, и математика изучает их в виде свойств чисел. Математика рассматривает абстрактные переменные величины и в отвлеченном виде, изучает различные законы их взаимосвязи, которые на математическом языке называются функциональными зависимостями, или функциями.
Например, в соотношении y = х2 геометр или геодезист увидит зависимость площади у квадрата от величины x его стороны, а физик, авиаконструктор или кораблестроитель может усмотреть в нем зависимость силы y сопротивления воздуха или воды от скорости x движения. Математика же изучает зависимость y = x2 и ее свойства в отвлеченном виде. Она устанавливает, например, что при зависимости y = x2 увеличение x в 2 раза приводит к четырехкратному увеличению y. И где бы конкретно ни появилась эта зависимость, сделанное абстрактное математическое заключение можно применять в конкретной ситуации к любым конкретным объектам.
Из истории возникновения функций.
Определение функции.
Понятие функции уходит своими корнями в ту далёкую эпоху, когда люди впервые поняли, что окружающие их явления взаимосвязаны. Они ещё не умели считать, но уже знали, что, чем больше оленей удастся убить на охоте, тем дольше племя будет избавлено от голода, чем сильнее натянута тетива лука, тем дальше полетит стрела, чем дольше горит костёр, тем теплее будет в пещере.
С развитием скотоводства и земледелия, ремесла и обмена увеличилось количество известных людям зависимостей между величинами.
Начиная с XVII в. одним из важнейших понятий является понятие функции. Оно сыграло и поныне большую роль в познании реального мира.
Идея функциональной зависимости восходит к древности, она содержится уже в первых математически выраженных соотношениях между величинами, в первых правилах действий над числами, в первых формулах для нахождения площади и объема тех или иных фигур.
Однако явное и вполне сознательное применение понятия функции и систематическое изучение функциональной зависимости берут своё начало в XVII в. в связи с проникновением в математику идеи переменных.
Чёткого представления понятия функции в XVII в. ещё не было, однако путь к первому такому определению проложил Декарт, который систематически рассматривал в своей «Геометрии» лишь те кривые, которые можно точно представить с помощью уравнений, притом преимущественно алгебраических. Постепенно понятие функции стало отождествляться таким образом с понятием аналитического выражения – формулы.
Слово «функция» (от латинского functio – совершение, выполнение) Лейбниц употреблял с 1673 г. в смысле роли (величина, выполняющая ту или иную функцию). Как термин в нашем смысле выражение «функция от x» стало употребляться Лейбницем и И. Бернулли.
Явное определение функции было впервые дано в 1718 г. одним из учеников и сотрудников Лейбница, выдающимся швейцарским математиком Бернулли: «Функцией переменной величины называют количество, образованное каким угодно способом из этой переменной величины и постоянных». Оно привело в восхищение престарелого Лейбница, увидевшего, что отход от геометрических образов знаменует новую эпоху в изучении функций. Многие из этих функций нельзя было явно выразить с помощью ранее известных операций. Поэтому один из самых замечательных математиков XVII в. Леонард Эйлер (1707 – 1783), вводя в своём учебнике понятие функции, говорит лишь, что «когда некоторые количества зависят от других таким образом, что при изменении последних и сами они подвергаются изменению, то первые называются функциями вторых».
Леонард Эйлер во «Введении в анализ бесконечных» (1748) примыкает к определению своего учителя И. Бернулли несколько уточняя его. Определение Л. Эйлера гласит: « Функция переменного количества есть аналитическое выражение, составленное каким-либо образом из этого количества и чисел или постоянных количеств». Так понимали функцию на протяжении почти всего XVII в. Даламбер, Лагранж и другие видные математики.
В формировании современного понимания функциональной зависимости приняли участие многие крупные математики. Описание функции, почти совпадающее с современным, встречается уже в учебниках математики начала XIX в. Активным сторонником такого понимания функции был Н.И. Лобачевский.
В школьном учебнике математики дается следующее определение функции:
Зависимость переменной y от переменной x называется функцией, если каждому значению x соответствует единственное значение у. Переменную x называют независимой переменной или аргументом, а переменную у – зависимой переменной. Значение у, соответствующее заданному значению x, называют значением функции.
Записывают: y =f(x) (читается: «Эф от икс»). Буквой f обозначается данная функция, т. е. функциональная зависимость между переменными x и y; f(x) есть значение функции, соответствующее значению аргумента х. Говорят также, что f(x) есть значение функции в точке х.
Все значения, которые принимает независимая переменная, образуют область определения функции.
Все значения, которые принимает функция f(x) (при x, принадлежащих области ее определения), образуют область значений функции.
Может возникнуть вопрос: почему мы обозначаем функцию символом f, и когда он появился. Этот символ изобрел в 1733 г. французский математик Клеро. А появился этот символ, когда формировался общий подход к понятию функции, когда потребовалось обозначение «функции вообще».
Свойства функции в пословицах и поговорках.
Функции – это математические портреты устойчивых закономерностей, познаваемых человеком. Чтобы проиллюстрировать характерные свойства функций обратимся к пословицам и поговоркам. Ведь пословицы – это тоже отражение устойчивых закономерностей, выверенное многовековым опытом народа.
1. Возрастание функции.
Определение: Функция y= f(x) называется возрастающей на промежутке Х, если для любых х1 и х2 из Х, таких, что х1 < х2, выполняется неравенство f(x1)< f(x2) (короче: x1<x2 => f(x1) <
f(x2)).
Иными словами, функция возрастает на промежутке Х, если, какие бы два значения аргумента, принадлежащие этому промежутку, ни взять, окажется, что большему значению аргумента соответствует большее значение функции.
«Чем дальше в лес, тем больше дров», - гласит пословица. Изобразим графиком, как нарастает количество дров по мере продвижения в глубь леса – от опушек, где всё давным-давно собрано, до чащоб, куда ещё не ступала нога заготовителя.
Горизонтальная ось графика – это лесная дорога. По вертикали будем откладывать (допустим, в кубометрах) количество топлива на данном километре дороги.
График представит количество дров как функцию пути.
Количество
дров
Продвижение в лес
Согласно пословице эта функция неизменно возрастает. Какие две точки на оси абсцисс ни взять, для более дальней (чем дальше в лес…) значение функции будет больше (…тем больше дров). Такое свойство функции называется монотонным возрастанием.
2. Неубывающая функция.
Определение: Если для любых х1 и х2 из множества Х таких, что х1<х2, справедливо неравенство f(x1) ≤ f(x2) , то функцию f(x) называют неубывающей на множестве Х.
«Каши маслом не испортишь». Качество каши можно рассматривать как функцию количества масла в ней. Согласно пословице эта функция не уменьшится с добавкой масла. Она, возможно, увеличится, но может оставаться и па прежнем уровне. Подобного рода функции называются монотонно неубывающими.
Качество
каши
Количество масла
3. Убывающая функция.
Определение: Функция y= f(x) называется убывающей на промежутке Х, если для любых х1 и х2 из Х, таких, что х1 < х2, выполняется неравенство f(x1)> f(x2) (короче: x1<x2 => f (x1) > f(x2)).