Секция математика признаки делимости чисел (стр. 1 из 2)
Министерство образования и науки Российской Федерации
Управление образования и науки Кудымкарского муниципального района
МОУ «Кувинская средняя общеобразовательная школа»
Конкурс учебной – исследовательских работ учащихся
Секция математика
ПРИЗНАКИ ДЕЛИМОСТИ ЧИСЕЛ
Работу выполнила
ученица 8-ого класса
Трошева Наталья.
Руководитель:
Копытова Н.Г.,
учитель математики
2009г.
Содержание
Введение………………………………………………………………………3-5
Из истории…………..……………………………………………………..…6-8
Признаки делимости чисел:
1. Признаки делимости на 2…………………………………..…………...9
2. Признаки делимости на 3…………………………………………….…9
3. Признаки делимости на 4……………………………………………….9
4. Признаки делимости на 5……………………………………………….9
5. Признаки делимости на 6………………………………………...….9-10
6. Признаки делимости на 7……………………………………………...10
7. Признаки делимости на 8……………………………………………...10
8. Признаки делимости на 9……………………………………………...10
9. Признаки делимости на 10…………………………………………10-11
10. Признаки делимости на 11……………………………………………11
11. Признаки делимости на 12……………………………………………11
12. Признаки делимости на 13……………………………………...…….12
13. Признаки делимости на 14……………………………………………12
14. Признаки делимости на 15…………………………………………....12
15. Признаки делимости на 19………………………………………...12-13
16. Признаки делимости на 25………………………………………...….13
17. Признаки делимости на 50…………………………………………….13
Заключение…………………………………………………………………….14
Библиографический список………………………………………………15-16
Приложения………………………………………………………………..16-18
Введение
Если вы хотите научиться плавать, то смело входите в воду, а если хотите научиться решать задачи, то решайте их.
Д. Пойа
В арифметике много разделов и один из них - делимость чисел.
При изучении на уроках математики темы « Признаки делимости чисел на 2, 3, 5, 9,10» возник интерес к исследованию чисел на делимость. Было предположено, что если можно определить делимость чисел на эти числа, то должны быть признаки, по которым можно определить делимость натуральных чисел на другие числа. Признак делимости - это правило, по которому, не выполняя деления, можно установить, делится ли одно число на другое. Признаки делимости всегда интересовали ученых разных времен и народов.
Старинная восточная притча:
Давным-давно жил-был старик, который, умирая, оставил своим трем сыновьям 19 верблюдов. Он завещал старшему сыну половину, среднему – четвертую часть, а младшему – пятую. Не сумев найти решения самостоятельно (ведь задача в «целых верблюдах» решения не имеет), братья обратились к мудрецу.
- О, мудрец!- сказал старший брат. - Отец оставил нам 19 верблюдов и велел разделить между собой: старшему – половину, среднему – четверть, младшему – пятую часть. Но 19 не делится ни на 2, ни на 4, ни на 5. Можешь ли ты, о, достопочтенный, помочь нашему горю, ибо мы хотим выполнить волю отца?
- Нет ничего проще, - ответил им мудрец. – Возьмите моего верблюда и идите домой.
Братья дома легко разделили 20 верблюдов пополам, на 4 и на 5.Старший брат получил 10, средний – 5, а младший – 4 верблюда. При этом один верблюд остался (10+5+4=19). Раздосадованные, братья вернулись к мудрецу и пожаловались:
- О, мудрец, опять мы не выполнили волю отца! Вот этот верблюд – лишний.
- Это не лишний, - сказал мудрец,- это мой верблюд. Верните его и идите домой.
Объект исследования – изучение всевозможных признаков делимости.
Предмет исследования – нахождение признаков делимости.
Цель исследования – найти и систематизировать признаки делимости, позволяющие решить задачи, не прибегая к громоздким решениям и выводам.
Для достижения этой цели необходимо решить следующие задачи:
1) Самостоятельно исследовать делимость чисел.
2) Изучить дополнительную литературу с целью ознакомления с другими признаками делимости.
3) Объединить и обобщить признаки из разных источников.
4) Сделать вывод.
Гипотеза: исследованные признаки делимости способствуют эффективному и рациональному решению задач.
Методы исследования: анализ, синтез, сравнение.
Работа имеет практическое применение. Ее могут использовать школьники и взрослые при решении реальных ситуаций; учителя, как при проведении уроков по математике, так и на факультативных курсах и дополнительных занятий на повторение.
Данное исследование будет полезным для учащихся при самостоятельной подготовке к выпускным и вступительным экзаменам. А также будет полезно и для учеников, целью которых стали высокие места на городских олимпиадах.
Из истории математики о делимости чисел
Большой вклад в изучение признаков делимости чисел внес Б. Паскаль.
БЛЕЗ
ПАСКАЛЬ (Blaise Pascal) (1623–1662), французский религиозный мыслитель, математик и физик, один из величайших умов 17 столетия. Родился в Клермон-Ферране (провинция Овернь) 19 июня 1623. Юный Блез очень рано проявил выдающиеся математические способности, научившись считать раньше, чем читать Свой первый математический трактат «Опыт теории конических сечений» он написал в 24 года. Примерно в это же время он сконструировал механическую суммирующую машину, прообраз арифмометра. Работы Паскаля в области точных наук, или ранний период его творчества относится к 1640-1650 году. За эти 10 лет разносторонний ученый сделал очень много: он нашел алгоритм для нахождения признаков делимости любого целого числа на любое другое целое число, сформулировал способ вычисления биноминальных коэффициентов, изложил ряд основных положений элементарной теории вероятности, впервые точно определил и применил для доказательства метод математической индукции. Вместе с Галилеем и Стевином Паскаль разработал основные положения классической гидростатики и установил ее основной закон – «Закон Паскаля». Умер Паскаль в Париже в 1662 году. Натуральное число а разделится на другое натуральное число b только в том случае, если сумма произведений цифр числа а на соответствующие остатки, получаемые при делении разрядных единиц на число b, делится на это число.
Например: число 2814 делится на 7, так как
делится на 7. (Здесь 6-остаток отделения 1000 на 7, 2- остаток от деления 100 на 7 и 3- остаток от деления 10 на 7).Делители и кратные.
Делителем натурального числа а называют натуральное число, на которое а делится без остатка.
Простые и составные числа.
Простыми называются натуральные числа, которые не имеют других натуральных различных делителей, кроме единицы и самого себя.
Например, число 17 – простое, т.к. делится на 1 и само на себя.
Числа, которые имеют и другие натуральные делители кроме 1 и самого себя, называются составными.
Например, число 121 – составное, т.к. имеет более двух делителей: 1; 11; 121. Число 1 не относится ни к простым, ни к составным числам.
Делимость чисел обладает свойствами:
1. Если а и р- натуральные числа, причем р -простое, то либо а делится на р, либо а и р взаимно просты.
Например 15и 11. 15и5.
2.Если М- общее кратное а и b, а т - их наименьшее общее кратное, то М делится на т.
Например, 3 и 5. Их кратное 90, наименьшее общее кратное 15, тогда 90 делится на 15.
3. Рефлексивность: если а делится на b, то и b делится на а.
Это свойство очевидно, как и то , что любое равенство можно читать как справа налево, так и слева направо
4. Транзитивность: если а делится на b и b делится на с, то и а делится на с.
Разъясним транзитивность нам конкретном примере: 36:12, 12:4, тогда и 36:4Кроме того, нетрудно заметить, что делимость чисел практически никак не связана с их величиной: существуют маленькие числа, которые делятся на сравнительно большое количество чисел. Например, 12 делится на 1, 2, 3, 4, 6, 12. И число 43 имеет только два делителя: 1, 43.
Признаки делимости на 2
Необходимо и достаточно, чтобы последняя цифра была четной.
Например:
В числе 29654 последняя цифра 4 – она четная, значит, число делится на 2.
Признаки делимости на 3
Для того чтобы число делилось на 3, необходимо и достаточно, чтобы
сумма его цифр делилась на 3.
Например:
513 – 5+1+3=9, значит, число делится на 3.
Признаки делимости на 4
Чтобы число делилось на 4 надо
проверить делится ли на 4 число из двух последних цифр. Например:
1836 – 36:4, значит, 1836 делится на 4 без остатка.
Кроме этого на 4 делятся числа, запись которых оканчивается двумя нулями.
Например: 5500
Признаки делимости на 5
Число делится на 5 в том, и только в том случае если оно оканчивается на
5 или на 0.
Например:
245 делится на пять.
Признаки делимости на 6