по дисциплине: «Математика» на тему: «Задачи на клетчатой бумаге» (стр. 4 из 5)
Вот именно с таких занимательных задач начинается уже серьёзная математика с исследованиями, доказательствами и построением небольшого раздела математической теории под названием «делящиеся фигуры на плоскости».
Задача 8. [16] «Парадокс шахматной доски»Шахматная доска разрезается наискосок, как это изображено на левой половине рисунка 9, а затем часть В сдвигается влево вниз, как это показано на правой половине рисунка. Первоначальная площадь Рис. 9
равнялась 64 кв. ед, теперь же она равна 63. Куда исчезла одна недостающая квадратная единица?
Глава 4. Расстояние в «клетчатом» городе
С понятием расстояния мы сталкиваемся ежедневно. «Каково расстояние от дома до школы?», «Сколько километров от Москвы до Петербурга?» - эти вопросы никого не удивят. Зная расстояние, мы можем прикинуть, долго ли добираться от одного места до другого. Все мы умеем вычислять расстояние между двумя точками на координатной прямой, с помощью теоремы Пифагора мы можем вычислить расстояние между двумя точками на координатной плоскости.
А теперь возьмём хорошо знакомый нам листок клетчатой бумаги и представим себе, что это – город, линии сетки – улицы. Давайте прогуляемся по этому городу, ходя только по улицам (порядки в этом городе очень строгие). Длину клетки будем считать равной 1. Как нам быстрее всего попасть с перекрёстка А на перекрёсток Б (рис. 1)?
Можно, например, пройти из А в С, а потом – из С в В. Можно было идти через D, а можно – и более замысловатым путём. Что же мы теперь назовём расстоянием от А до В? Конечно, длину кратчайшегоРис. 1 пути: 4 + 3 = 7.
А теперь представим себе, что у нас в запасе есть время проделать путь длиной 3. В каких узлах мы можем побывать, выйдя из А? (Или: из каких узлов можно добраться до А, пройдя путь не более 3?) Ответ на этот вопрос изображён на рисунке 2). Наверное, многие из вас сейчас вспомнили о круге на плоскости: ведь круг радиуса r с центром в точке А и есть множество всех точек плоскости, которые удалены от А не больше, чем на r. Но как не похож ромбик из точек с рисунка 2 на привычный круг! Рис. 2Познакомимся поближе с расстоянием в «клетчатом» городе с помощью нескольких задач.
Задача 1.[11] В «клетчатом» городе выделили район – квадрат 4´4. Какое
Наименьшее количество детских площадок нужно построить в этом районе, чтобы из любого узла этого района можно было попасть на одну из этих площадок, проделав путь не более 3?
Решение. Понятно, что двух площадок хватает (рис. 3). Ещё легче понять, что одной площадки будет мало (слишком далеко разбросаны узлы, находящиеся на границе квадрата!)Рис. 3
Решите такую же задачу с прямоугольником 6´3. А как решается подобная задача, если расстояние на плоскости измеряется обычным способом?Задача 2. Какое наибольшее количество котов можно разместить в узлах сетки на территории квадрата 4´4, чтобы расстояние между любыми двумя из них было не менее 2 (иначе коты подерутся)?
Наверное, без особого труда сумеете поделить территорию квадрата между 13 котами (рис. 4). А вот Рис. 414 котов мирно ужиться на этой территории уже не смогут. Докажем это. Поделим всю территорию, кроме центра квадрата, на 4 непересекающиеся зоны (рис. 5). Если даже одного из 14 котов поселить в центре квадрата, то остальных 13 придётся разместить по этим зонам. Значит, в какой-то зоне окажется хотя бы 4 кота. Перебирая различные варианты расселения 4 котов в
Рис. 5 какой-нибудь из этих зон, легко увидеть, что это невозможно.
Подумайте, как решить эту задачу, если расстояние на плоскости измеряется, как обычно.
Итак, мы познакомились с расстоянием в «клетчатом» городе. Оно ни чуть не менее естественно, чем обычное расстояние «по прямой». Что их объединяет? Каковы общие свойства, которыми должно обладать расстояние?
Свойство 1. Расстояние между двумя точками неотрицательно, причём оно равно нулю, только если точки совпадают.
Ещё бы! Чтобы попасть из точки А в неё же, никуда идти не надо, а чтобы попасть в другую точку В, придётся проделать некий путь положительной длины.
Свойство 2. Расстояние от точки А до точки В равно расстоянию от точки В до точки А.
Недаром мы говорим обычно не о расстоянии от А до В, а о расстоянии между А и В, не различая расстояния от А до В и от В до А.
Свойство 3. Для точек А, В и С сумма расстояний от А до С и от С до В не меньше расстояния от А до В (неравенство треугольника).
Свойства 1, 2 и 3 в математике называются аксиомами расстояния. Как мы знаем, эти свойства есть у обычного расстояния на плоскости. Не трудно проверить, что есть они и у нового расстояния, введённого нами в «клетчатом» городе.
Глава 5. Игры на клетчатой бумаге
1. Крестики - нолики
1. Популярная игра в крестики – нолики состоит в следующем. Двое по очереди рисуют на листе клетчатой бумаги крестики и нолики. Первый игрок рисует крестики, второй – нолики. Выигрывает тот, кто первым поставит определённое количество своих знаков в ряд (по вертикали, горизонтали или диагонали). Следующая задача относится к этой игре.
Задача.[4] Докажите, что при игре в крестики – нолики второй игрок, как бы хорошо он ни играл, не может рассчитывать больше, чем на ничью, если его партнёр играет правильно.
2. Бридж-ит («перебрось мостик!»)
На рисунке показана доска для игры в бридж-ит. Участники игры по очереди проводят вертикальные или горизонтальные линии, соединяющие две соседние точки «своего» цвета: один игрок соединяет синими линиями синие точки, другой – чёрными линями чёрные точки. Линии противников нигде не должны пересекаться. Выигрывает тот, кто первым построит ломаную, соединяющую две противоположные стороны доски «своего» цвета. Так на рисунке выиграли «синие». В этой игре у начинающего игру есть выигрышная стратегия.Когда вы вдоволь наиграетесь с друзьями в эту игру, можете либо придумать стратегию, либо прочитать о ней в книге М. Гарднера «Математические досуги»
3. Солитер [11]
Для игры в солитер нужны игровое поле-доска из 33 клеток и фишки, шашки или монетки. Игра начинается с того, что на все клетки доски, кроме центральной, расставляются фишки. Цель игры состоит в том, чтобы после ряда «прыжков» на доске осталась всего одна фишка. «Прыжок» означает следующее: фишка переносится на свободную клетку через любую соседнюю фишку, которая при этом снимается с доски, причём фишки могут прыгать влево, вправо, вверх и вниз (но не по 
диагонали!). Каждый ход обязательно должен быть прыжком через фишку. Если очередной ход невозможен, то игра заканчивается.Прежде чем играть в солитер, можете решить несколько более простых задач из книги М. Гарднера «Математические досуги».
4. Жизнь [11]Эту игру придумал математик Дж. Конуэй. В неё можно играть одному. Для игры вам понадобится большая доска, разграфленная на клетки, и много плоских фишек двух цветов. Основная идея игры состоит в том, чтобы, начав с какого-нибудь простого расположения фишек, расставленных в разных клетках, проследить за эволюцией исходной позиции под действием «генетических законов» Конуэя, которые управляют рождением, гибелью и выживанием фишек. Вот эти законы.
1. Выживание. Каждая фишка, имеющая две или три соседние фишки, выживает и переходит в следующие поколения. (Соседние фишки – те, которые расположены на соседних клетках: смежных по горизонтали, вертикали или диагонали.)
2. Гибель. Каждая фишка, у которой больше трёх соседей, погибает (то есть снимается с доски) из-за перенаселённости. Каждая фишка, вокруг которой свободны все соседние клетки или занята всего одна клетка, погибает от одиночества.
3. Рождение. Если число фишек, с которыми граничит какая-нибудь пустая клетка, в точности равно трём, то на этой клетке происходит рождение нового «организма», то есть следующим ходом на неё ставится одна фишка.
Важно понять, что гибель и рождение всех «организмов» происходят одновременно. Вместе взятые, они образуют одно поколение – один «ход» в эволюции. Чтобы не запутаться, ходы рекомендуется делать так:
1) начать с конфигурации, целиком состоящей из чёрных фишек;
2) определить, какие фишки должны погибнуть, и положить на каждую из обречённых фишек по одной чёрной фишке;
3) Найти все свободные клетки, на которых должен произойти акт рождения, и на каждую из них поставить по одной белой фишке;
4) Всё проверить, затем снять с доски все погибшие фишки (столбики), а всех новорождённых (белые фишки) заменить чёрными фишками.
Вы получите новое поколение. Дальше действуйте аналогично. Вы обнаружите много интересного и красивого в эволюции семейств организмов.
Глава 6. Интересные факты
В этой главе мы приведём без доказательства несколько интересных и красивых фактов, относящихся к клетчатой плоскости. В основном, это довольно трудные теоремы. Но мы надеемся, что они понравятся вам так же, как нам, и у вас тоже возникнет желание продолжить знакомство с клетчатой плоскостью.