по дисциплине: «Математика» на тему: «Задачи на клетчатой бумаге» (стр. 1 из 5)
Суетовская муниципальная средняя (полная) общеобразовательная школа
Ярцевского района Смоленской области
РЕФЕРАТ
по дисциплине: «Математика»
на тему: «Задачи на клетчатой бумаге»
Выполнили:
учащиеся 8 класса
Гасимова София Илгам кызы,
Лущик Виктория Анатольевна,
Максимова Алина Владимировна,
Петрова Валерия Александровна.
Руководитель:
учитель математики
Буренкова Елена Алексеевна
Суетово – 2011
Содержание
Стр.
1.Введение………………………………………………………………...3
2. Глава 1. Задачи на нахождение площади многоугольника.
Формула Пика………………………………………………...6
3. Глава 2. Сколько узлов на отрезке? …………………………………11
4. Глава 3. Задачи на разрезание ……………………………………….15
5. Глава 4. Расстояние в «клетчатом» городе …………………………19
6. Глава 5. Игры на клетчатой бумаге ………………………………....22
7. Глава 6. Интересные факты…………………………………..............25
8. Заключение …………………………………………………………....27
9. Список литературы……………………………………………………29
Введение
«Решение задач – практическое искусство, подобное
плаванию, катанию на лыжах или игре на фортепиано;
научиться ему можно, только подражая хорошим
образцам и постоянно практикуясь»
Д. Пойя
Увлечение математикой часто начинается с размышления над какой-то особенно понравившейся задачей. Богатым источником таких задач служат различные олимпиады – школьные, городские, дистанционные, международные. Готовясь к олимпиадам, мы рассмотрели множество разноплановых заданий и выделили группу задач, подход к решению которых нам показался интересным и оригинальным. Это задачи на клетчатой бумаге. У нас возникали вопросы: в чём заключается особенность таких задач, существуют ли специальные методы и приёмы решения задач на клетчатой бумаге. Увидев такие задачи в контрольно – измерительных материалах ЕГЭ в нашем кабинете математики, решили обязательно исследовать задачи на клетчатой бумаге, связанные с нахождением площади изображённой фигуры.
Мы приступили к изучению литературы, Интернет-ресурсов по данной теме. Казалось бы, что увлекательного можно найти на клетчатой плоскости, то есть, на бесконечном листке бумаги, расчерченном на одинаковые квадратики? Не судите поспешно. Оказывается, задачи, связанные с бумагой в клеточку, достаточно разнообразны. Мы научились вычислять площади многоугольников, нарисованных на клетчатом листке, встретились с совсем новыми, необычными «расстояниями», узнали, как раскраска клеточек помогает решать многие задачи, познакомились поближе с задачами на разрезание и, наконец, научились играть в увлекательные игры на листке бумаги в клетку.
Однако чёткой классификации и структурирования задач на клетчатой бумаге по методам и способам решения мы не встретили. Возможно, потому, что большинство таких задач считается «занимательными», и не так уж много авторов посвятило этой теме свои изыскания. Очень вероятно, потому, что для многих задач на бумаге в клетку нет общего правила решения, конкретных способов и приёмов. Вот это их свойство обуславливает их ценность для развития не конкретного учебного умения или навыка, а вообще умения думать, размышлять, анализировать, искать аналогии, то есть, эти задачи развивают мыслительные навыки в самом широком их понимании.
Мы определили:
Объект исследования: задачи на клетчатой бумаге
Предмет исследования: многообразие задач на клетчатой бумаге, методы и приёмы их решения.
Методы исследования: моделирование, сравнение, обобщение, аналогии, изучение литературных и Интернет-ресурсов, анализ и классификация информации.
Основная цель исследования заключается в расширении знаний о многообразии задач на клетчатой бумаге, о приёмах и методах решения этих задач.
Для достижения поставленной цели предусматриваем решение следующих задач:
· Подобрать необходимую литературу
· Отобрать материал для исследования, выбрать главную, интересную, понятную информацию
· Проанализировать и систематизировать полученную информацию
· Найти различные методы и приёмы решения задач на клетчатой бумаге
· Классифицировать исследуемые задачи
· Оформить работу в виде буклета
· Создать электронную презентацию работы для представления собранного материала одноклассникам
Гипотеза: возможно, многообразие задач на бумаге в клеточку, их «занимательность», отсутствие общих правил и методов решения вызывают у школьников затруднения при их рассмотрении. Предположим, что при более внимательном исследовании задач на клетчатой бумаге, мы убедимся в их востребованности, оригинальности, полезности.
Задачи на бумаге в клетку помогают как можно раньше формировать геометрические представления у школьников на разнообразном материале.
При решении задач на клетчатой бумаге нам не понадобится знание основ планиметрии, а будут нужны именно смекалка, геометрическое воображение и достаточно простые геометрические сведения, которые известны всем.
При решении таких задач возникает ощущение красоты, закона и порядка в природе.
Глава 1. Задачи на нахождение площади многоугольника.
Формула Пика
Мы считаем настоящей жемчужиной нашего исследования формулу Пика!
Сюжет будет разворачиваться на обычном листке клетчатой бумаги.[6]
Линии, идущие по сторонам клеток, образуют сетку, а вершины клеток – узлы этой сетки. Нарисуем на листе многоугольник с вершинами в узлах (рис. 1) и найдем его площадь. Искать её можно по-разному. Например, можноРис. 1 разрезать многоугольник на достаточно простые фигуры, найти их площадь и сложить.
Но тут нас ждёт много хлопот (попробуйте!). Давайте «схитрим»:
вычислим площадь заштрихованной фигуры, которая «дополняет» наш
многоугольник до прямоугольника АВСD, и вычтем её из площади прямоугольника. Заштрихованная фигура легко разбивается на прямоугольники и прямоугольные треугольники, и её площадь вычисляется без усилий.
Итак, хотя многоугольник и выглядел достаточно просто, для вычисления его площади нам пришлось потрудиться. А если бы многоугольник выглядел более причудливо?
Оказывается, площади многоугольников, вершины которых расположены в узлах сетки, можно вычислять гораздо проще: есть формула, связывающая их площадь с количеством узлов, лежащих внутри и на границе многоугольника. Эта замечательная и простая формула называется формулой Пика.Рис. 2 Пусть АВСD – прямоугольник с вершинами в узлах и сторонами, идущими по линиям сетки (рис. 2).
Обозначим через В количество узлов, лежащих внутри прямоугольника, а через Г – количество узлов на его границе. Сместим сетку на полклетки вправо и полклетки вниз. Тогда территорию прямоугольника можно «распределить» между узлами следующим образом: каждый из В узлов «контролирует» целую клетку смещённой сетки, а каждый из Г узлов – 4 граничных не угловых узла – половину клетки, а каждая из угловых точек – четверть клетки. Поэтому площадь прямоугольника S равна
S = В + 
+ 4 · 
= В + 
- 1 .
Итак, для прямоугольников с вершинами в узлах и сторонами, идущими по линиям сетки, мы установили формулу S = В +
- 1 .Оказывается, эта формула верна не только для прямоугольников, но и для произвольных многоугольников с вершинами в узлах сетки!
Это и есть формула Пика.
Задача 1. Проверить формулу Пика для многоугольника на рисунке 1.
Решение.
В = 14, Г = 8. По формуле Пика: S = В +
- 1 .S = 14 + 8/2 – 1 = 17
Ответ: 17 кв. ед.
Можно убедиться в том, что формула Пика верна для всех рассмотренных примеров.Оказывается, что если многоугольник можно разрезать на треугольники с вершинами в узлах сетки,
Рис. 3 то для него верна формула Пика.
Попробуйте вычислить площади многоугольников с рисунка 3, используя формулу Пика. Правда ведь, легко получается!
Рассмотрим ещё некоторые задачи на клетчатой бумаге с клетками размером 1 см
1 смЗадача 2.[12] Найдите площадь прямоугольника АВСD (рис.4).
Решение. По формуле Пика: S = В + - 1 .В = 8, Г = 6
Рис. 4 S = 8 + 6/2 – 1 = 10 (см²)
Ответ: 10 см².
Задача 3. Найдите площадь параллелограмма АВСD (рис.5)