Объектно-ориентированный подход (стр. 8 из 22)

3.2.5. Некоторые специфические понятия

Наконец, необходимо рассмотреть то, как согласуются с объектно-ориентированным подходом менее универсальные понятия вычислительной математики, чем описанные выше понятия системы уравнений, схемы и сетки. Прежде всего, существуют многообразные свойства расчётных схем: явность, устойчивость, монотонность, консервативность, гибридность и т.д. Свойства устойчивости и монотонности являются чисто математическими и не имеют отношения к реализации схем; поэтому объектно-ориентированный подход не привносит в эти понятия ничего нового. Почти то же можно сказать о консервативности (свойство, имеющее смысл для гиперболических уравнений), однако практика показывает, что схемы, являющиеся удобными для своей объектной реализации, обычно одновременно являются консервативными. Это связано с тем, что объектные схемы всегда ближе к физике задачи, и реализующие их элементы соответствуют реальным объектам.

Гибридные схемы решения уравнений в частных производных (прежде всего гиперболических, поскольку именно они имеют требующие гибридизации разрывные решения) несколько проще реализуются с помощью объектно-ориентированного подхода, чем с помощью процедурного. Благодаря тому, что схема как объект в разделе 3.2.2 была отделена от самого расчётного элемента (в данном случае – от сеточного узла), для совместного использования в каждом узле двух схем, совершенно не нужно изменять ни код элемента, ни код схем. Достаточно создать класс гибридной схемы (один класс для всех возможных пар элементарных схем!), которая будет в соответствии с градиентом решения интерполировать результаты, получаемые по каждой из двух схем.

Несколько менее впечатляющим выглядит применение объектно-ориентированного подхода к реализации неявных схем. С одной стороны, самый простейший объектно-ориентированный численный метод для уравнений практически любого типа (который не следит за тем, на каком временном слое или на какой итерации берутся значения параметров) фактически является полуявным (треугольным), в то время как простейший процедурный численный метод – явный. С другой стороны, решение какой-либо вспомогательной системы уравнений на верхнем слое объектно-ориентированным способом достаточно сложно. В случае обыкновенных дифференциальных уравнений вспомогательная система уравнений нелинейная, и единственный разумный способ её решения состоит в привязке к основному расчётному элементу – к дифференциальной системе – ещё одного элемента (алгебраической системы). На каждом шаге своего решения дифференциальная система должна изменять некоторые коэффициенты алгебраической, после чего итерировать её схему до получения заданной точности.

Реализация неявных схем в случае пространственно-распределённых задач возможна без использования вспомогательных элементов, но лишь ценой существенного усложнения структуры и функций основных элементов – сеточных узлов. Большинство алгоритмов решения уравнений на верхнем временном слое не являются локальными, в отличие от самих схем для уравнений в частных производных, поэтому теряются некоторые преимущества объектного подхода по отношению к таким уравнениям. К примеру, алгоритм прогонки (даже монотонной прогонки) требует двукратного обращения к методам одного и того же сеточного узла: первый раз для вычисления прогоночных коэффициентов, а второй – для расчёта искомых параметров в этих узлах. Код метода прогонки получается более компактным и развиваемым, если выделить прогоночные коэффициенты в отдельный элемент, связанный с каждым сеточным узлом. Прямой ход прогонки состоит в цепочке вызовов методов расчёта именно этих вспомогательных элементов, и только на обратном ходу прогонки сами сеточные узлы последовательно вызывают друг у друга методы обновления своего состояния. Следует заметить, что распространение простейшего алгоритма прогонки на более сложные задачи (многомерные, с циклическими граничными условиями и т.д.) приводит к серьёзным трудностям, а объектно-ориентированная немонотонная прогонка вообще, по-видимому, невозможна. Если же решать уравнения на верхнем слое итерационными методами, то возникает необходимость в описанных выше вспомогательных элементах алгебраической системы уравнений, привязанных, в данном случае, к каждому сеточному узлу. Тем не менее в разделе 3.3.2.2 показывается, что и в случае неявных схем ООП может стимулировать развитие численных методов.

Выше речь шла о применимости объектов к некоторым типам схем; осталось рассмотреть их эффективность с точки зрения некоторых видов пространственных сеток. Отсутствие регулярной структуры сетки вполне соответствует объектному подходу, поскольку он (в отличие от процедурного) также не предполагает упорядочение узлов по координатам в массивах. Более того, так как для нерегулярных сеток характерно использование в разных узлах шаблонов разного размера и схем различного типа, объектный подход выглядит намного эффективнее процедурного в плане хранения коэффициентов этих схем. Он также облегчает алгоритмы поиска наилучших узлов шаблона.

Методология адаптивных сеток, применяющаяся для получения решений с большими градиентами, плохо соотносится с принятым в данной работе подходом. Если сеточные узлы просто перемещаются в пространстве (скапливаясь в областях «разрывов»), а их число остаётся неизменным, то никаких неудобств представление узлов в виде объектов не вызывает. Правда, и преимуществ никаких это представление не несёт: на каждом шаге по времени состояние узлов меняется полностью (это не согласуется с их объектной природой), причём за это отвечают не сами узлы (практически не взаимодействующие друг с другом), а внешний алгоритм. Если же число узлов со временем может изменяться, то объектный подход приведёт к недопустимым затратам ресурсов: нельзя конструировать (и уничтожать) тысячи объектов на каждом шаге по времени.

Описанные выше отношения между объектными трактовками различных понятий вычислительной математики резюмируются на рис. 3.2, а изложенные соображения о применимости объектно-ориентированного подхода к этим понятиям – в табл. 3.1.

	Уровень последовательности вычислений
	Уровень расчётов по формулам
	Уровень взятия и присвоения значений
Рис. 3.2. Отношения агрегации между классами объектов, соответствующими основным понятиям вычислительной математики
Примечание 1. Рисунок соответствует объектной нотации UML, цифры около конца связи между классами означают её кратность (число объектов, которое может содержать агрегирующий объект)
Примечание 2. Кратность связи класса элемента с самим собой (0..*) указана для случая однотипных элементов (например, узлов сетки); при использовании сложных методов элемент может иметь ещё одну принципиально иную связь с элементом другого типа

Таблица 3.1

Применимость ООП к некоторым понятиям вычислительной математики

Понятие	Степень соответствия ООП
Система уравнений	Выше среднего	ООП наиболее полезен, если совместно решаются несколько связанных систем, особенно разных типов
Схема	Средняя	объектное представление схемы нужно лишь для создания легко развиваемых библиотек численных методов; объектное представление параметра схемы значительно сокращает код, но увеличивает ресурсоёмкость программ; объектное представление элементов (систем) позволяет упорядочивать их переходы к следующим моментам времени (или итерациям)
Пространственная сетка и шаблон	Высокая	объектное представление узлов сетки позволяет гораздо эффективнее использовать характерное для распределённых задач условие локальности связей между узлами
Гибридная схема	Выше среднего	ООП позволяет при гибридизации использовать ранее реализованные негибридные схемы, не изменяя их
Неявная схема	Ниже среднего	объектная реализация неявных схем столь же сложна, как и процедурная, а в случае пространственно-распределённых задач теряется локальность алгоритмов и многие связанные с ней преимущества ООП
Нерегулярная сетка	Высокая	нерегулярные сетки с помощью ООП реализовать даже проще, чем регулярные
Адаптивная сетка	Низкая	объектная реализация алгоритмов перемещения сеточных узлов слабо отличается от процедурной, а динамическое создание (удаление) узлов в случае использования ООП недопустимо

3.3. Объектное представление конкретных численных методов

3.3.1. Обыкновенные дифференциальные уравнения

Все методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ) делятся на одношаговые и многошаговые, и их объектная реализация существенно различается.

В принципе, при объектном представлении параметров очень удобно хранить в них любое требуемое число их значений на последовательных шагах по времени, что создаёт предпосылки для реализации многошаговых схем. Однако правая часть уравнений обычно состоит не только из параметров, но и из объектов-функций и объектов-операций, для которых хранение истории своего изменения во времени является избыточным. Поэтому целесообразно создавать специальные объекты (класса «параметр»), в каждом из которых хранить последовательность значений одного компонента вектора правой части. Кроме того, сложные задачи, для которых имеет смысл применять объектно-ориентированный подход, обычно приводят к жёстким системам уравнений, в связи с чем необходимо изменять шаг по времени в ходе расчётов, а к этому многошаговые схемы можно приспособить только за счёт существенного усложнения алгоритма. Такие задачи также часто содержат не только сосредоточенные, но и распределённые подсистемы, для расчёта которых многослойные схемы применяются редко. Поэтому использование многошаговых схем для ОДУ нецелесообразно и с точки зрения единообразия расчётов всех частей рассматриваемой системы.