На тему: «Магические Квадраты»
Реферат
На тему:
«Магические Квадраты»
Выполнил: Ондар Монге,
ученик 7Д класса
Учитель: Леонтьева Евгения Ивановна
Г. Кызыл 2012год.
Содержание
Введение 3-5 стр.
I.Теоретическая часть.
1.История появления магических квадратов 5-6 стр.
II.Практическая часть.
2.Способы заполнения магических квадратов:
2.1.Метод А.де ла Лубера 6-7 стр.
2.2.Метод Ф.де ла Ира 7 стр.
2.3.Достраивание до
симметричной ступенчатой ромбовидной фигуры 7-9 стр.
3.Выводы 9-10 стр.
Литература 10 стр.
Введение
Однажды за 3 минуты до конца урока математики учитель предложил одному классу решить следующую задачу.
Задача: заполнить квадрат 3´3 натуральными числами от 1 до 9 включительно, так, чтобы были использованы все цифры и сумма чисел на всех строках, столбцах и диагоналях была одинакова.
Так как никто не справился с заданием за такое короткое время, решение задачи было предложено на дом. Из 25 учеников этого класса с ней справился только один. Он изобразил заполненный квадрат на доске, сказав, что на его заполнение у него ушло минут 10-15. Он перебирал различные варианты, пока не пришел к нужному.
Меня заинтересовала предложенная задача. Но метод перебора мне не понравился: он отнимает очень много времени, хотя и позволяет тренировать свои вычислительные навыки. Это побудило меня заняться работой.
Тема: заполнение магических квадратов.
Объект: магический квадрат.
Гипотеза: для заполнения магического квадрата существуют специальные приемы, позволяющие это сделать быстро.
Цели: изучить способы заполнения магических квадратов и историю их появления
Задачи:
- Познакомиться с историей появления и названия магических квадратов
- изучить известные способы заполнения магических квадратов
Методы: Анализ литературы и Интернет-ресурсов.
Этапы:
1. знакомство с литературой и Интернет-ресурсами
2. апробация найденных методов
3. оформление работы
Оборудование:
- компьютер
- проектор для демонстрации презентации
- сопроводительная презентация
1. История появления магических квадратов
МАГИЧЕСКИЙ КВАДРАТ, квадратная таблица из целых чисел, в которой суммы чисел вдоль любой строки, любого столбца и любой из двух главных диагоналей равны одному и тому же числу.
Магический квадрат – древнекитайского происхождения. Согласно легенде, во времена правления императора Ю (ок. 2200 до н.э.) из вод Хуанхэ (Желтой реки) всплыла священная черепаха, на панцире которой были начертаны таинственные иероглифы (рис. 1,а), и эти знаки известны под названием ло-шу и равносильны магическому квадрату, изображенному на рис. 1,б. В 11 в. о магических квадратах узнали в Индии, а затем в Японии, в 15 в. О магических квадратах узнали европейцы. Первым квадратом , придуманным европейцем , считается квадрат Дюрера ( рис.2 ) изображен на его знаменитой гравюре Меланхолия 1. Дата создания гравюры (1514) указана числами, стоящими в двух центральных клетках нижней строки. Магическим квадратам приписывали различные мистические свойства. Бытовало поверье, что выгравированный на серебре магический квадрат защищает от чумы. Даже сегодня среди атрибутов европейских прорицателей можно увидеть магические квадраты.
рис.1 рис.2
В 19 и 20 вв. интерес к магическим квадратам вспыхнул с новой силой. Их стали исследовать с помощью методов высшей алгебры .
2. Способы заполнения магических квадратов
Магические квадраты нечетного порядка
Магические квадраты нечетного порядка можно построить с помощью метода французского геометра 17 в. А.де ла Лубера . Рассмотрим этот метод на примере квадрата 5-го порядка (рис. 4). Число 1 помещается в центральную клетку верхней строки. Все натуральные числа располагаются в естественном порядке циклически снизу вверх в клетках диагоналей справа налево. Дойдя до верхнего края квадрата, продолжаем заполнять диагональ, начинающуюся от нижней клетки следующего столбца (по ломаной диагонали). Дойдя до правого края квадрата, продолжаем заполнять диагональ, идущую от левой клетки строкой выше. Дойдя до заполненной клетки или угла, траектория спускается на одну клетку вниз .
рис.4
Метод Ф.де ла Ира (1640–1718) основан на двух первоначальных квадратах. На рис. 5 показано, как с помощью этого метода строится квадрат 5-го порядка. В клетку первого квадрата вписываются числа от 1 до 5 так, что число 3 повторяется в клетках главной диагонали, идущей вправо вверх, и ни одно число не встречается дважды в одной строке или в одном столбце. То же самое мы проделываем с числами 0, 5, 10, 15, 20 с той лишь разницей, что число 10 теперь повторяется в клетках главной диагонали, идущей сверху вниз (рис. 5,б). Поклеточная сумма этих двух квадратов (рис. 5,в) образует магический квадрат.
Достраивание до симметричной ступенчатой ромбовидной фигуры
Сначала исходный пустой квадрат достраивается до симметричной ступенчатой ромбовидной фигуры как показано на следующем рисунке.
| 255 | ||||||||
| 24 | 20 | |||||||
| 23 | 19 | 15 | ||||||
| 22 | 18 | 14 | 10 | |||||
| 21 | 17 | 13 | 9 | 5 | ||||
| 16 | 12 | 8 | 4 | |||||
| 11 | 7 | 3 | ||||||
| 6 | 2 | |||||||
| 25 |
Сначала исходный пустой квадрат достраивается до симметричной ступенчатой ромбовидной фигуры как показано на следующем рисунке.
Полученная на шаге 1 фигура заполняется по косым рядам снизу-вверх-направо целыми числами от 1 до n2 последовательно.
Каждое число, расположенное в фигуре вне исходного квадрата, переносится по вертикали или горизонтали внутрь исходного квадрата в самую удаленную клетку.
Выводы
1. Магический квадрат – древнекитайского происхождения.
2. Универсального способа заполнения магических квадратов нет.
3. Способ заполнения магического квадрата, зависит от его порядка.
4. Для квадратов нечетного порядка существует 3 способа: метод Ф.де ла Ира (на двух квадратах), метод А.де ла Лубера и достраивание до симметричной ступенчатой ромбовидной фигуры.
Литература:
1. http://cad.narod.ru/methods/cadsystems/software/kvadrat/html
2. http://ru.wikipedia.org/wiki
3. И. Я. Депман, Н.Я. Виленкин. Учебник математики. Москва. Просвещение. 1989г.
4. Энциклопедический словарь юного математика. М., «Педагогика»,