«Тайны математики» (стр. 3 из 4)

Глава III. Способы заполнения магических квадратов

нечетного порядка

3.1. Метод А.де ла Лубера.

Магические квадраты нечетного порядка можно построить с помощью метода французского геометра 17 в. А.де ла Лубера (сиамский метод). Рассмотрим этот метод на примере квадрата 5-го порядка (рис. 4). Число 1 помещается в центральную клетку верхней строки. Все натуральные числа располагаются в естественном порядке циклически снизу вверх в клетках диагоналей справа налево. Дойдя до верхнего края квадрата, продолжаем заполнять диагональ, начинающуюся от нижней клетки следующего столбца (по ломаной диагонали). Дойдя до правого края квадрата, продолжаем заполнять диагональ, идущую от левой клетки строкой выше. Дойдя до заполненной клетки или угла, траектория спускается на одну клетку вниз, после чего процесс заполнения продолжается.

Для облегчения заполнения квадрата данным методом, а именно определения места заполнения следующей клетки, после края квадрата можно воспользоваться следующей схемой

Поставим 1 в среднюю клетку верхнего ряда и продолжим последовательность по диагонали вправо-вверх. Если очередное число на диагонали выходит за границы квадрата, мы его переставляем в соответствующее поле в квадрат .

Изучая различные источники, мы обратили внимание на то, что можно заполнять квадраты и в другом направлении и не обязательно 1 стоит в данной позиции.

3.2. Метод Ф.де ла Ира (1640–1718) основан на двух первоначальных квадратах. На рис. 5 показано, как с помощью этого метода строится квадрат 5-го порядка. В клетку первого квадрата вписываются числа от 1 до 5 так, что число 3 повторяется в клетках главной диагонали, идущей вправо вверх, и ни одно число не встречается дважды в одной строке или в одном столбце. То же самое мы проделываем с числами 0, 5, 10, 15, 20 с той лишь разницей, что число 10 теперь повторяется в клетках главной диагонали, идущей сверху вниз (рис. 5,б). Поклеточная сумма этих двух квадратов (рис. 5,в) образует магический квадрат. Этот метод используется и при построении квадратов четного порядка.

Проанализировав данную схему заполнения по рисунку, я пришла к следующему алгоритму.

1. В первом квадрате размещаем числа от 1 до n (порядок квадрата), так, чтобы на побочной диагонали стоял средний элемент этой последовательности.

2. Все остальные элементы располагаем параллельно этой диагонали по ломаным диагоналям. Элементы на ломаной диагонали равны.

3. Во втором квадрате размещаем последовательные числа, кратные порядку квадрата, начиная с 0, (количество элементов равно порядку квадрата) так, чтобы на главной диагонали стоял средний элемент этой последовательности.

4. Все остальные элементы располагаем параллельно этой диагонали по ломаным диагоналям. Элементы на ломаной диагонали равны.

2.3. Достраивание до симметричной

ступенчатой ромбовидной фигуры

Сначала исходный пустой квадрат достраивается до симметричной ступенчатой ромбовидной фигуры как показано на следующем рисунке.

Полученная на шаге 1 фигура заполняется по косым рядам снизу-вверх - направо целыми числами от 1 до n² последовательно. Результат заполнения показан на следующем рисунке:

25
24	20
23	19	15
22	18	14	10
21	17	13	9	5
16	12	8	4
11	7	3
6	2
1

Каждое число, расположенное в фигуре шага 2 вне исходного квадрата, переносится по вертикали или горизонтали внутрь исходного квадрата в самую удаленную клетку.

25
24	20
23	6	19	2	15
22	10	18	1	14	22	10
21	17	5	13	21	9	5
16	4	12	25	8	16	4
11	24	7	20	3
6	2
1

Глава 4. Способы заполнения магических квадратов

порядка, кратного четырем

Универсальные методы составления магических квадратов произвольного четного порядка пока неизвестны. Однако, разработаны индивидуальные подходы для различных частных случаев. Ниже рассмотрен метод составления магических квадратов, порядок кратен 4. Этот метод удобно рассмотреть на примере магического квадрата 8-го порядка из натуральных чисел от 1 до 64. Метод включает следующую последовательность шагов.

Квадрат раскрашивается в два цвета, а потом заполняется - проследите за расстановкой последовательных чисел 1, 2, 3, 4, 5, ...

1. Исходный квадрат делится на соответствующее число квадратов порядка 4. В данном случае таких квадратов будет 4. В каждом подквадрате закрашиваются диагональные элементы (главная и побочная).

2. Остальные элементы построчно заполняются порядковыми целыми числами в направлении слева -направо и сверху -вниз по закрашенным клеткам и справа -налево и снизу-вверх по не закрашенным клеткам.

3. Переход между цветами при заполнении происходит если следующая для заполнения клетка меняет цвет

Глава 5. Применение магических квадратов.

Традиционной сферой применения МК являются талисманы. (Полный список планетных талисманов можно найти в монографии А.Санарова «Магия талисманов. Практическое пособие»).

К примеру, талисман Луны обладает определенными свойствами: предохраняет от кораблекрушения и болезней, делает человека любезным, способствует предотвращению дурного намерения, а так же укрепляет здоровье. Его гравируют на серебре в день и час Луны, когда Солнце или Луна находится в первых десяти градусах Рака. Магический квадрат 9-ого порядка вписывается в девятиугольник (9 - число Луны, см. ниже) и окружается специальными символами.

Однако, существуют и магический квадрат для стихий и знаков Зодиака. Найти порядок нужного магического квадрата поможет Liber 777 Алистера Кроули, которая устанавливает следующие соответствия:

3	Сфера Сатурна
4	Сфера Юпитера
5	Сфера Марса
6	Сфера Солнца
7	Сфера Венеры
8	Сфера Меркурия
9	Сфера Луны
10	Сфера Элементов
11	Стихия Воздуха
12	Меркурий
13	Луна
14	Венера
15	Овен
16	Телец
17	Близнецы
18	Рак
19	Лев
20	Дева
21	Юпитер
22	Весы
23	Стихия Воды
24	Скорпион
25	Стрелец
26	Козерог
27	Марс
28	Водолей
29	Рыбы
30	Солнце
31	Стихия Огня
32	Сатурн,Стихия Земли

III. Заключение

Тема математических квадратов – один из традиционных разделов занимательной математики, представляющий любознательному читателю, как красивые конструкции, так и серьёзные нерешенные проблемы.

В моей работе рассмотрены вопросы, связанные с историей развития одного из вопросов математики, занимавшего умы очень многих великих людей, - магических квадратов. Несмотря на то, что собственно магические квадраты не нашли широкого применения в науке и технике, они подвигли на занятия математикой множество незаурядных людей и способствовали развитию других разделов математики (теории групп, определителей, матриц и т.д.).

Мною сделаны следующие выводы:

1. Существует не так много методов заполнения магических квадратов

2. С увеличением размеров квадрата быстро растет количество возможных магических квадратов. Так, например, для 3 порядка – единственный, для 4 - 880, для 5 – приближается к четверти миллиона.

3. В литературе есть ссылка, что метод, основанный на двух первоначальных квадратах, можно применить и для заполнения квадратов четного порядка. Экспериментируя, я не пришли к нужному результату и оставляю это для дальнейшего исследования.

Трудно понять классическую музыку без подготовки. Нелегко воспринимать абстрактную живопись, не имея представления о её законах. То же можно сказать о числовых узорах.

Удивительная, поистине, магическая красота, содержащаяся в магических квадратах, влечёт к себе лучшие умы человечества в течение тысячелетий. Понять её не всякому дано, но один раз осознав стройность и безжалостную строгость чисел, связанных узами магии, можно получить огромное удовольствие.

Использованные Интернет-ресурсы и литература

1. Е.И Игнатьев «В царстве смекалки», М., «Наука»,1979г.

2. И. Я. Депман, Н.Я. Виленкин. За страницами учебника математики.