Расчёт коэффициента передачи по току низкочастотного фильтра (стр. 2 из 5)
 | |
 |  |
Рисунок.1. Скелетная схема и её деревья:
а – схема; б, в, – деревья (ветви дерева изображены сплошными линиями, а главные ветви – штриховыми).
Количество независимых напряжений равно количеству ветвей дерева. Действительно, так как замкнутые контуры в дереве отсутствуют, то ни одного уравнения по второму закону Кирхгофа, в которое бы входили только напряжения ветвей дерева, записать нельзя. В тоже время остальные напряжения (напряжения главных ветвей) могут быть выражены через напряжения ветвей дерева по второму закону Кирхгофа, поскольку каждая главная ветвь образует вместе с деревом или его частью замкнутый контур. На рисунке 2 приведены замкнутые контуры для случая, когда дерево схемы выбрано соответственно рис.1. Контурам, как и ветвям, приписывают некоторые положительные направления (по часовой или против часовой стрелки) и порядковые номера.
Количество независимых токов электронной схемы равно количеству главных ветвей. И это действительно так, токи всех ветвей дерева можно выразить через токи в главных ветвях. Для этого достаточно провести замкнутые линии так, чтобы каждая из них пересекала только одну из ветвей дерева, а остальные пересекаемые ветви относились бы к главным ветвям. Для каждой ветви дерева существует единственная совокупность главных ветвей, которые пересекаются данной линией. Замкнутая область, которая была выделена таким образом, называется – сечение. На рисунке 2 штрихами показаны все сечения для выбранного нами варианта дерева, причём для упрощения рисунка образующие сечение линии обрываются во внешней области схемы, хотя предполагается, что они должны замыкаться. Сечения так же нумеруются порядковыми цифрами, и им приписываются некоторые положительные направления (внутрь или из неё). Применяя к сечениям первый закон Кирхгофа, получаем уравнения, каждое из которых, помимо токов главных ветвей, содержит и ток какой-либо одной ветви дерева. Однако нельзя образовать сечение, которое пересекало бы только главные ветви, значит, линейная зависимость между токами этих ветвей отсутствует, и, следовательно, токи главных ветвей представляют собой совокупность независимых токов схемы.
 |  |
Рисунок.2. Контуры и сечения схемы: а – контуры (стрелки ветвей указывают положительные направления токов); б – сечения (стрелки ветвей указывают положительные направления напряжений)
Уравнения схемы по законам Кирхгофа в матричном виде записываются с помощью матриц, которые отражают связь ветвей с контурами и сечениями схемы.
Ветви и контуры находятся во взаимно однозначном соответствии. Каждому контуру принадлежит определённая совокупность ветвей и, наоборот, через каждую ветвь проходит определённая совокупность контуров. Это соответствие может быть представлено матрицей контуров [Г], являющейся прямоугольной, в которой каждому контуру отведена строка, а каждой ветви – столбец. При записи матрицы контуров, направления ветвей отождествляются с положительными направлениями токов, которые протекают в данных ветвях. На пересечении k-й строки и s-го столбца вписывается элемент gks (первый индекс указывает номер строки, а второй – номер столбца) соблюдая следующее правило.
+1, если k-й контур проходит через s-ю ветвь и их направления
совпадают;
gks = -1, если k-й контур проходит через s-ю ветвь и их направления
противоположны
0, если k-й контур не проходит через s-ю ветвь.
Например, для схемы, которая приведена на рисунке 2, матрица контуров будет иметь следующий вид.
0 0 0 -1 +1 0 0 +1
[Г] = -1 0 0 +1 0 +1 0 -1
0 0 -1 0 0 0 +1 +1
-1 +1 -1 +1 0 0 0 0
Каждая строка матрицы [Г] указывает на совокупность ветвей схемы, которые входят в данный контур. Если перемножить элементы строки на соответствующие элементы вектора напряжений ветвей [Uв] и сложить, мы получим алгебраическую сумму напряжений в контуре, которая в соответствии со вторым законом Кирхгофа равна нулю. Отсюда можно записать матричное уравнение.
[Г] [Uв] = [0] (1.8)
где [0] – нулевой вектор, все компоненты которого равны нулю. Это уравнение соответствует системе s скалярных уравнений для независимых контуров и может рассматриваться как обобщенное выражение второго закона Кирхгофа для электронной схемы в целом.
Через главные ветви проходит только по одному контуру, поэтому можно отождествить токи в них с независимыми контурными токами схемы. Обозначив контурные токи числовыми индексами от 1 до s соответственно нумерации контуров, получим s-мерный вектор контурных токов.
I1
I2
[I] = I3
.
[ Is]
Если теперь умножить какой-либо столбец матрицы [Г] на вектор [I], мы получим алгебраическую сумму контурных токов, протекающих через соответствующую этому столбцу ветвь. Однако по правилу умножения матрицы на вектор следует перемножить на него не столбцы, а строки, поэтому матрицу вначале нужно транспонировать (заменить строки соответствующими столбцами). В результате мы получим транспонированную матрицу [Г]t. Запишем теперь матричное уравнение, которое связывает токов ветвей [Iв] с вектором контурных токов [I], посредством транспонированной матрицы контуров [Г]t.
[Iв] = [Г]t [I] (1.9)
Это уравнение соответствует l скалярным уравнениям для токов ветвей, выраженных через контурные токи.
Взаимно однозначное соответствие ветвей и сечений схемы можно выразить через матрицу сечений [П].
Сечение включает те ветви, которые оно пересекает и, наоборот, данной ветви принадлежит совокупность сечений, которыми она пересекается. Поскольку сечению принадлежит только одна ветвь дерева, то направление сечения можно отождествить с направлением этой ветви. Остальные ветви схемы могут совпадать или не совпадать по направлению с данным сечением. В матрице сечений [П] каждому сечению соответствует строка, а каждой ветви – столбец. Элементы в матрицу вписываются согласно следующих правил.
+1, если k-е сечение включает s-ю ветвь и их направления совпадают;
pks = -1, если k-е сечение включает s-ю ветвь и их направления противоположны;
0, если k-е сечение не включает s-ю ветвь.
В качестве примера рассмотрим матрицу сечений для схемы (см. рис.2).
+1 +1 0 0 0 +1 0 0
[П] = 0 -1 0 +1 +1 -1 0 0
0 0 0 0 -1 +1 -1 +1
0 +1 +1 0 0 0 +1 0
Каждая строка матрицы [П] указывает на совокупность ветвей, которые пересекаются данным сечением. Если перемножить элементы строки на соответствующие элементы вектора токов ветвей [Iв] и сложив произведения, мы получим алгебраическую сумму токов в ветвях сечения, которая согласно первому закону Кирхгофа тождественно равна нулю. Отсюда можно записать матричное уравнение.
[П] [Iв] = [0] (1.10)
которое может рассматриваться, как обобщённое выражение первого закона Кирхгофа.
Напряжения ветвей дерева составляет совокупность независимых узловых напряжений схемы. Обозначив узловые напряжения числовыми индексами от 1 до n соответственно нумерации сечений, мы образуем n-мерный вектор узловых напряжений.
U1
U2
[U] = U3
.
Un
Каждый столбец матрицы [П] указывает на совокупность сечений, которые принадлежат данной ветви. Если мы умножим какой-либо столбец матрицы [П] на вектор [U], то, как мы видим из рисунка 2 получим алгебраическую сумму узловых напряжений, равную напряжению данной ветви. Однако чтобы выразить напряжения ветвей через узловые напряжения, необходимо матрицу сечений транспонировать.
Тогда мы получим зависимость между вектором напряжений ветвей [Uв] и вектором узловых напряжений [U] в следующем виде.
[Uв] = [П]t [U] (1.11)
При анализе сложных схем решение системы уравнений приводит к громоздким выкладкам. Поэтому желательно соответствующим выбором независимых переменных свести задачу к наименьшему числу исходных уравнений. Это может быть достигнуто применением метода узловых потенциалов.
1.2.2 Метод узловых потенциалов.
В качестве независимых величин можно выбрать совокупность узловых потенциалов, которые отождествляются с напряжениями ветвей дерева схемы. Подставим в уравнение ветвей вместо вектора напряжений ветвей его значение в соответствии с (1.11):
[Iв] = [Yв] [П]t [U] + [Jв]
и умножив полученное равенство на матрицу контуров [П] получим:
[П] [Iв] = [П] ([Yв] [П]t [U] + [Jв]).
В соответствии с первым законом Кирхгофа (1.10) произведение в левой части равенства тождественно равно нулю. Выполнив теперь умножение в правой части равенства, получим
0 = ([П] [Yв] [П]t)[U] + [П] [Jв].
Введём обозначения:
[Y] = [П] [Yв] [П]t (1.12)
[J] = -[П] [Jв] (1.13)
получим узловое уравнение схемы в матричной форме
[Y] [U] = [J] (1.14)
Здесь Y- квадратная матрица n-го порядка, называемая матрицей проводимости схем.
Y11 Y12 ….. Y1n
Y21 Y22 ….. Y2n
[Y]= ….. … …. …..
Yn1 Yn2 …. Ynn