Расчёт коэффициента передачи по току низкочастотного фильтра (стр. 3 из 5)

Как видно из выражения (1,12), её элементы Y_ks -это линейные комбинации проводимости ветвей. Многомерный вектор:

[J] = [J₁, J₂, …J_s] (1.15)

называется вектором задающих токов или просто задающим вектором, как следует из выражения (1.13) его элементами являются линейные комбинации задающих токов ветвей.

Величины [Y] и [J] представляют собой матрично-векторные параметры схемы и для конкретной системы независимых сечений вполне определяются значениями параметров ветвей, которые обычно считаются известными. Если мы решим уравнение (1.14) относительно вектора узловых напряжений, то получим значения напряжений ветвях дерева. Это решение записывается через обратную матрицу проводимости [Y]^-1 следующим образом:

[U]=[Y]^-1[J] (1.16)

В матричном виде это решение получается умножением обеих частей уравнения (1.14) на обратную матрицу [Y]^-1

[Y]^-1 [Y] [U] = [Y]^-1 [J] (1.17)

Произведение взаимообратных матриц равно единичной матрице, элементы главной диагонали которой равны единицам, а остальные элементы – нули.

Обратная матрица [Y]^-1 получается заменой в исходной матрице [Y] каждого элемента его алгебраическим дополнением, затем она транспонируется, и полученную таким способом матрицу делят на определитель матрицы [Y] .

Используя выражение для обратной матрицы, можно записать равенство (1.16) в следующем виде:

U₁ D₁₁ D₂₁ … D_s1 J₁

U₂ D₁₂ D₂₂ … D_s2 J₂

… = 1/D ¼ ¼ ¼ ¼ ´ ¼ (1.18)

U_s D_1s D_2s … D_ss J_s

Если в правой части этого равенства выполнить умножение и приравнять элементы полученного в результате вектора соответствующим элементам в левой части равенства, то мы получим значения узловых напряжений. Для k-го узлового напряжения имеем:

_n U_k = 1/D(D_1kJ₁ + D_2kJ₂ + ¼ + D_nkJ_n) = 1/D å D_sk J_s (1.19)

s = 1

С помощью этого выражения можно вычислить любую компоненту вектора [U], не прибегая к обратной матрице.

1.2.3 Дуализм в анализе электронных схем.

При рассмотрении методов контурных токов и узловых напряжений удобно пользоваться понятием дуальности, которое в теории электронных схем играет большую роль. Если бы мы произвели сравнение этих двух методов, то увидели бы что имеется аналогия во всех выкладках и методах, представления матрично-векторных параметров схемы и определении искомых величин. Полученные выражения и правила являются сходными по форме и отличаются друг от друга только названиями величин и терминов. Такие величины и термины называются дуальными. Примерами таких дуальных пар являются ток и напряжение, проводимость и сопротивление, контурный ток и узловое напряжение, источник тока и источник напряжения, контур и сечение, ячейка и узел и т.д.

Практическое значение принципа дуализма состоит в том, что замена в формулировке любой зависимости или правила величин и терминов соответствующими дуальными величинами и терминами приводит к новой формулировке, которая также имеет смысл. Это значит, что, изучив некоторую группу соотношений, на основе принципа дуализма можно получить другую группу соотношений относительно дуальных величин и терминов.

Применив принцип дуализма к матричному уравнению схемы, мы получим его в обобщённой форме.

[W] [X] = [Q] (1.20)

Величины, которые входят в данное уравнение приобретают конкретный смысл в зависимости от системы отсчёта величин, характеризующих состояние системы. Если в качестве такой системы выбрать совокупность независимых контуров, то [X] будет представлять собой вектор контурных токов, [W] – матрицу сопротивления схемы, а [Q] – вектор задающих напряжений. Если же выбрана системой отсчёта совокупность независимых сечений, то [X] тогда представляет собой вектор узловых напряжений, [W] – матрицу проводимости схемы, а [Q] - вектор задающих токов.

Совокупность независимых контуров и сечений можно рассматривать, как некоторую систему координат в многомерном пространстве, а значения контурных токов или узловых напряжений – как некоторые координаты, которые характеризуют состояние схемы при данных значениях параметров её элементов. Таким образом, вектор является некоторой обобщённой координатой схемы, в связи, с чем его называют вектором состояния схемы. Этот вектор однозначно определяется через матрично-векторные параметры схемы [W] и [Q].

[X] = [W]^-1 [Q] (1.21)

1.2.4 Символическое изображение.

Символическое изображение– один из способов преобразования функций времени.

Преобразования функций времени сводят при решении операции интегрирования и дифференцирования к алгебраическим действиям, и тем самым мы получаем уравнения в комплексной форме.

Пусть задающие токи и напряжения представляют собой гармонические функции времени

¦(t) = A cos(wt + a) (1.22)

где А – амплитуда; w - круговая частота; a - начальная фаза.

Период колебаний Т и частота ¦ связаны с круговой частотой формулами Т = 2p/w; ¦ = 1/Т; w = 2p/Т = 2p¦ (1.23)

Обычно гармоническая функция ¦(t) заменяется её условным символическим изображением, которым служит комплексная функция

j(t) = Aе^{j(wt + a)} = Ae^jwt (1.24)

Комплексная величина А, которая не зависит от времени, называется комплексной амплитудой и выражается через модуль А и аргумент a

А = Ае^ja (1.25)

Графически комплексная амплитуда А представляется на комплексной

плоскости символическим вектором, а символическое изображение j(t) - тем же вектором, вращающимся против часовой стрелки с угловой скоростью w (см. рис. 3). В алгебраической записи комплексной амплитуды

А = a + jb (1.26)

величины a и b представляют собой соответственно проекции символического вектора на вещественную и мнимую оси. Как видно из рисунка 4:

a = A cosa; b = A sina (1.27)

Для того чтобы от алгебраической записи перейти к показательной, используют соотношения:

А = Öa² + b²; a = arctg b/a (1.28)

b

a

0 а

Рисунок.3. Символическое изображение гармонической функции на комплексной плоскости.

Если мы в уравнениях для пассивных элементов заменим токи символическими изображениями и выполним указанные там операции, то получим символические изображения напряжений на пассивных двухполюсниках.

U_Re^jwt = RI_Re^jwt

U_Ce^jwt = (1/jwC) I_Ce^jwt

U_Le^jwt = jwLI_Le^jwt

Общий множитель e^jwt показывает, что при гармонических воздействиях некоторой частоты w в пассивной линейной цепи могут возникать только гармонические токи и напряжения той же частоты. Если в полученных зависимостях опустить этот множитель, то мы приходим к уравнениям пассивных двухполюсников для комплексных амплитуд токов и напряжений.

U_R = RI_R (1.29)

U_C = (1/jwC) I_C (1.30)

U_L = jwL I_L (1.31)

Комплексная амплитуда полностью определяет гармоническую функцию данной частоты w. Действительно, если мы сравним выражения (1.22) и (1.25), то увидим, что амплитуда А и фаза a косинусоидальной функции совпадают соответственно с модулем и аргументом комплексной амплитуды, что позволяет легко переходить от гармонической функции комплексной амплитуде и обратно. Пользуясь зависимостью между показательной и тригонометрической записью комплексной функции, можно записать выражение для символического изображения в виде

j(t) = Ae^j(wt+a) = A[cos(wt + a) + j sin(wt + a)].

Отсюда вытекает зависимость, которая связывает между собой гармоническую функцию и её символическое изображение:

¦(t) = A cos(wt + a) = Re[j(t)] (1.32)

т.е. косинусоидальная функция равна вещественной составляющей её комплексного изображения.

В таблице 1 (Приложение А) сведены распространенные типы преобразований и данных значения величины p, которые она приобретает при различных преобразованиях.

2. Расчёт коэффициента передачи по току низкочастотного фильтра

методом узловых потенциалов

2.1 Задан низкочастотный фильтр (см. рис.4) со следующими параметрами

С = 100мкФ = 10^-4Ф; k = 10; R_н = 100 Ом ; R_r = 10 Ом.

Параметры фильтра связаны следующими формулами.

L = k/p¦₂ (2.2) C = 1/pk¦₂ (2.3)

k = ÖL/C (2.1)

Рисунок.4. Исходная схема низкочастотного фильтра.