Расчёт коэффициента передачи по току низкочастотного фильтра (стр. 4 из 5)

Рассчитаем, воспользовавшись формулой (2.1) индуктивность

L = k²*C = 100*10^-4 = 0.01Гн

Рассчитаем верхнюю границу полосы пропускания согласно формуле

¦₂ = 1/p

= 1/(3.14* ) = 318,5 Гц

таким образом, полоса пропускания нашего фильтра:

¦₁£ ¦ £ ¦₂ ¦₁ = 0; ¦₂ =318,5 Гц.

Согласно задания, схема на рисунке 4 должна быть удвоенна. Так же добавим в схему источник питания, сопротивление нагрузки и землю. Преобразованная схема изображена на рисунке 5.

Y_г C R_H

Рисунок.5. Преобразованная схема низкочастотного фильтра.

2.2 Построим граф для нашего фильтра.

1 4 2 5 3

1 2 3

Рисунок.6. Граф низкочастотного фильтра.

Топологические элементы схемы: ветвей дерева – 3 (1,2,3); узлов – 3 (1,2,3); сечений – 3; контуров – 2, хорды- 2 (4,5).

2.3. Составим топологические матрицы [А],[П],[Г]:

Составим матрицу [А]

1 0 0 -1 0

[А] = 0 1 0 1 -1

0 0 1 0 1

Матрицу сечений [П]

1 0 0 -1 0

[П] = 0 1 0 1 -1

0 0 1 0 1

Как видим матрицы [А] и [П] аналогичны, так как число сечений равно числу узлов.

Матрицу контуров [Г]

1 -1 0 1 0

[Г] = 0 1 -1 0 1

2.4. Запишем связь напряжений ветвей с напряжениями сечений:

1 0 0 U₁

0 1 0 U ₁ U₂

[П]_t [U] = 0 0 1 ´ U₂ = U₃ = [U_с]

-1 1 0 U₃ U₂-U₁

0 -1 1 U₃-U₂

2.5. Запишем второй закон Кирхгофа в матричном виде

1 0 0

0 1 0 U₁

[Г] [U_в] = [Г] [П]_t [U] = 1 -1 0 1 0 ´ 0 0 1 ´ U₂ =

0 1 -1 0 1 -1 1 0 U₃

0 -1 1

U₁- U₂+ U₂- U₁ 0

U₂- U₃+ U₃- U₂ = 0

2.6. Найдём матрицу проводимости и ММС тремя способами:

2.6.1. формальным способом: матрица [Y] записывается в виде квадратной матрицы методом узловых потенциалов. Элементы главной диагонали являются проводимостью соответствующих ветвей, а остальные элементы проводимость элементов, которые входят, как в один, так и в другой контур.

[Y]=

2.6.2. По компонентным уравнениям

Запишем по второму закону Кирхгофа систему уравнений относительно неизвестных контурных токов:

По первому узлу:

I_B1+I_B4=I_г

I_B1=Y_г*U_B1; I_B4=2/pL*(U₂-U₁); тогда

(Y_г+2/pL)*U₁-2/pL*U₂ =I_г

По второму узлу:

I_B4+ I_B2- I_B5=0

-2/pL*U₁+(4/pL+pC)U₂-2/pL* U₃=0

по третьему узлу:

-2/pL*U₃+(1/R_H+2/pL)U₃=0

Проведя преобразования получим коэффициенты при токах дадут нам матрицу проводимости [Y]:

[Y]=

2.6.3.Перемножаем матрицы [Y] = [П] [Y_в] [П]_t.

1/R_г 0 0 0 0

1 0 0 -1 0 0 2/pL 0 0 0

[Y] = [П] [Y_в] [П]_t = 0 1 0 1 -1 ´ 0 0 pC 0 0 ´

0 0 1 0 1 0 0 0 2/pL 0

0 0 0 0 1/ R_н

1 0 0

0 1 0

´ 0 0 1 =

-1 1 0

0 -1 1

Полная математическая модель схемы для данного фильтра метода узловых потенциалов будет иметь вид:

U₁ I_г

´ U₂ = 0

U₃ 0

2.7. Запишем коэффициент передачи фильтра по току: К_I = I_вых/I_вх = I₃/I₁ через алгебраические дополнения матрицы [Y]:

I₃ А₁₃ М₁₃

К_I = ____ = ______ = _______

I₁ А₁₁ М₁₁

Определим миноры матрицы проводимости [Y]: