Моделирование систем пособие по выполнению курсовой работы для студентов III (стр. 3 из 13)

y=f(x,v,h). (1.2)

Соотношения (1.1) и (1.2) могут быть заданы различными способами: аналитически (с помощью формул), графически, таблично и т. д. Такие соотношения в ряде случаев могут быть получены через свойства системы S в конкретные моменты времени, называемые состояниями.

Если рассматривать процесс функционирования системы S как последовательную смену состояний, то они могут быть интерпретированы как координаты точки в n-мерном фазовом пространстве, причем каждой реализации процесса будет соответствовать некоторая фазовая траектория. Совокупность всех возможных значений состояний называется пространством состояний объекта моделирования Z.

Состояния системы S в момент времени

полностью определяются начальными условиями , входными воздействиями x(t), внутренними параметрами h(t) и воздействиями внешней среды v(t), которые имели место за промежуток времени t* - , с помощью двух векторных уравнений

Z(t)=Ф(z°,x,v,h,t) (1.3)

y(t)=F(z,t) (1.4)

Первое уравнение по начальному состоянию z° и экзогенным переменным x,v,h определяет вектор-функцию z(0), а второе по полученному значению состояний z (t) — эндогенные переменные на выходе системы у (t). Таким образом, цепочка уравнений объекта «вход — состояния — выход» позволяет определить характеристики системы y(t)=F{Ф(z°, x,v,h,t)} (1.5)

В общем случае время в модели системы S может рассматриваться на интервале моделирования (0, Т) как непрерывное, так и дискретное.

Таким образом, под математической моделью объекта (реальной системы) понимают конечное подмножество переменных {x(t), v(t), h(t)} вместе с математическими связями между ними и характеристиками у (t).

Если математическое описание объекта моделирования не содержит элементов случайности или они не учитываются, т. е. если можно считать, что в этом случае стохастические воздействия внешней среды v(t) и стохастические внутренние параметры h(t) отсутствуют, то модель называется детерминированной в том смысле, что характеристики однозначно определяются детерминированными входными воздействиями

y(t)=f(x,t) (1.6)

Очевидно, что детерминированная модель является частным случаем стохастической модели.

НЕПРЕРЫВНО-СТОХАСТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ

(Q-СХЕМЫ)

Особенности непрерывно-стохастического подхода рассмотрим на примере использования в качестве типовых математических схем систем массового обслуживания, которые будем называть Q-схемами. Системы массового обслуживания представляют собой класс математических схем, разработанных в теории массового обслуживания и различных приложениях для формализации процессов функционирования систем, которые по своей сути являются процессами обслуживания.

В качестве процесса обслуживания могут быть представлены различные по своей физической природе процессы функционирования экономических, производственных, технических и других систем, например потоки поставок продукции некоторому предприятию, потоки деталей и комплектующих изделий на сборочном конвейере цеха, заявки на обработку информации ЭВМ от удаленных терминалов и т. д. При этом характерным для работы таких объектов является случайное появление заявок (требований) на обслуживание и завершение обслуживания в случайные моменты времени, т. е. стохастический характер процесса их функционирования.

В любом элементарном акте обслуживания можно выделить две основные составляющие: ожидание обслуживания заявкой и собственно обслуживание заявки.

Прибор обслуживания заявок

Это можно изобразить в виде некоторого i-гo прибора обслуживания

(рисунок), состоящего из накопителя заявок , в котором может одновременно находиться заявок, где — емкость i-гo накопителя и канала обслуживания заявок (или просто канала) . На каждый элемент прибора обслуживания поступают потоки событий: в накопитель — поток заявок , на канал — поток обслуживаний .

Потоком событий называется последовательность событий, происходящих одно за другим в какие-то случайные моменты времени. Различают потоки однородных и неоднородных событий. Поток событий называется однородным, если он характеризуется только моментами поступления этих событий (вызывающими моментами) и задается. Mомент наступления i-го события — неотрицательное вещественное число. Однородный поток событий также может быть задан в виде последовательности промежутков времени между i-м и (п-1)-м событиями, которая однозначно связана с последовательностью поступления заявок.

При моделировании различных систем применительно к элементарному каналу обслуживания

можно считать, что поток заявок , т. е. интервалы времени между моментами появления заявок на входе образует подмножество неуправляемых переменных, а поток обслуживания U, т. е. интервалы времени между началом и окончанием обслуживания заявки, образует подмножество управляемых переменных.

Заявки, обслуженные каналом

и заявки, покинувшие прибор по различным причинам не обслуженными (например, из-за переполнения накопителя , образуют выходной поток , т. е. интервалы времени между моментами выхода заявок образуют подмножество выходных переменных.

Процесс функционирования прибора обслуживания

можно представить как процесс изменения состояний его элементов во времени z(t). Переход в новое состояние означает изменение количества заявок, которые в нем находятся (в канале и в накопителе ).

В практике моделирования систем, имеющих более сложные структурные связи и алгоритмы поведения, для формализации используются не отдельные приборы обслуживания, а Q-схемы, образуемые композицией многих элементарных приборов обслуживания (сети массового обслуживания).

Для того, чтобы осуществить процесс моделирования полученной Q-схемы используют различные языки имитационного моделирования. Одним из таких языков является язык имитационного моделирования GPSS (см. приложение 1)

Моделирование Q-схем с фазовой структурой

Если приборы массового обслуживания и их параллельные композиции соединены последовательно, то имеет место многофазное обслуживание (многофазная Q-схема). Таким образом, для задания Q-схемы необходимо использовать оператор сопряжения R, отражающий взаимосвязь элементов структуры (каналов и накопителей) между собой.

Связи между элементами Q-схемы изображают в виде стрелок (линий потока, отражающих направление движения заявок). Различают разомкнутые и замкнутые Q-схемы. В разомкнутой Q-схеме выходной поток обслуженных заявок не может снова поступить на какой-либо элемент, т. е. обратная связь отсутствует, а в замкнутых Q-схемах имеются обратные связи, по которым заявки двигаются в направлении, обратном движению вход-выход.

Собственными (внутренними) параметрами Q-схемы будут являться количество фаз, количество каналов в каждой фазе, количество накопителей каждой фазы, емкость i-гo накопителя. Следует отметить, что в теории массового обслуживания в зависимости от емкости накопителя применяют следующую терминологию для систем массового обслуживания: системы с потерями, т. е. имеется только канал обслуживания системы с ожиданием, (т. е. очередь заявок не ограничивается) и системы смешанного типа (с ограниченной емкостью накопителя). Всю совокупность собственных параметров Q-схемы обозначим как подмножество Н.