Моделирование систем пособие по выполнению курсовой работы для студентов III (стр. 9 из 13)

ОБРАБОТКА МАШИННЫХ ЭКСПЕРИМЕНТОВ С МОДЕЛЯМИ СИСТЕМ

Для экстремального планирования экспериментов наибольшее применение нашли модели в виде алгебраических полиномов. Предполагаем, что изучается влияние k количественных факторов

, на некоторую реакцию η в отведенной для экспериментирования локальной области факторного пространства G, ограниченной , . Допустим, что функцию реакции

можно с некоторой степенью точности представить в виде полинома степени d от k переменных

, (4.1)

который содержит

коэффициентов.

Соотношение (4.1) может быть представлено как

, (4.2)

где

— вектор с элементами , входящими в исходный полином;

— вектор коэффициентов, которые соответственно имеют такой вид:

.

Введем фиктивную переменную

, а также переменные

,

.

Тогда (4.1) запишется как однородное линейное уравнение вида

, (4.3)

где

.

Для оценки коэффициентов в (4.3) можно применить методы линейной регрессии.

Аппроксимация полиномов второго порядка функции реакции в однофакторной модели планирования может быть представлена в виде:

.

Более сложные объекты требуют применения полиномиальных моделей планирования большего порядка. Так, модель второго порядка в k-факторном эксперименте будет иметь вид:

.

На практике часто стремятся к использованию линейной модели планирования, преобразуя исходные полиномиальные модели. Например, модель второго порядка

может быть преобразована к линейному виду путем введения фиктивных переменных

. Тогда в результате получается модель множественной линейной регрессии вида

.

Функция реакции может иметь и более сложную зависимость от факторов. В этом случае некоторые из них удается привести к линейному виду. Такими моделями являются мультипликативная, регрессионная, экспоненциальная и др.

Если выбрана модель планирования, т. е. выбран вид функции

и записано ее уравнение, то остается в отведенной для исследования области факторного пространства G спланировать и провести эксперимент для оценки числовых значений констант (коэффициентов) этого уравнения.

Так как полином (4.2) или (4.3) содержит

коэффициентов, подлежащих определению, то план эксперимента D должен содержать по крайней мере различных экспериментальных точек:

,

где

— значения, которые принимает i-я переменная в u-м испытании, , .

Реализовав испытания в N точках области факторного пространства, отведенной для экспериментирования, получим вектор наблюдений, имеющий следующий вид:

где

— реакция, соответствующая u-й точке плана , .

При незначительном влиянии неуправляемых входных переменных и параметров по сравнению с вводимыми возмущениями управляемых переменных в планировании эксперимента предполагается верной следующая модель:

,

где

— ошибка (шум, флуктуация) испытания, которая предполагается независимой нормально распределенной случайной величиной с математическим ожиданием и постоянной дисперсией .

Выписав аналогичные соотношения для всех точек плана

получим матрицу планирования

размерностью

.

Рассмотрим особенности планирования эксперимента для линейного приближения поверхности реакции, причем построению плана предшествует проведение ряда неформализованных действий (принятие решений), направленных на выбор локальной области факторного пространства G (рис. 4.1).

Вначале следует выбрать границы

и области определения факторов, задаваемые исходя из свойств исследуемого объекта, т. е. на основе анализа априорной информации о системе S и внешней среде Е. Например, такая переменная, как температура, при термобарических экспериментах принципиально не может быть ниже абсолютного нуля и выше температуры плавления материала, из которого изготовлена термобарокамера.

После определения области G необходимо найти локальную подобласть для планирования эксперимента путем выбора основного (нулевого) уровня

и интервалов варьирования .

В качестве исходной точки

выбирают такую, которая соответствует наилучшим условиям, определенным на основе анализа априорной информации о системе S, причем эта точка не должна лежать близко к границам области определения факторов и . На выбор интервала варьирования , накладываются естественные ограничения снизу (интервал не может быть меньше ошибки фиксирования уровня фактора, так как в противном случае верхний и нижний уровни окажутся неразличимыми) и сверху (верхний и нижний уровни не должны выходить за область определения G).

В рамках выбранной модели планирования в виде алгебраических полиномов строится план эксперимента путем варьирования каждого из факторов

на нескольких уровнях q относительно исходной точки , представляющей центр эксперимента.

После проведения машинного эксперимента необходимо определить коэффициенты