Методические рекомендации по оцениванию выполнения заданий егэ с развернутым ответом (стр. 9 из 11)

Однако, оценить это решение в 0 баллов недопустимо: ведь автор для обеих конфигураций практически верно разобрал все геометрические детали и (дважды) ошибся лишь в заключительном шаге.

Оценка эксперта: 1 балл.

Пример 1.4. Решение задачи 1, комментарий и оценка этого решения.

Комментарий.

В решении рассмотрена только одна из двух геометрических конфигураций. Для случая внешнего касания окружностей задача решена верно.

Авторское указание двух случаев относится к двум способам решения задачи для одного и того же способа расположения окружностей.

Оценка эксперта: 2 балла.

Рассмотрим еще одну планиметрическую задачу уровня сложности С4 и примеры оценивания ее выполнения.

Задача 2. В параллелограмме

известны стороны , и угол . Найдите расстояние между центрами окружностей, описанных около треугольников и .

Решение №1.

Треугольники

расположены в разных полуплоскостях относительно прямой . Поэтому также по разные стороны от нее расположены и центры и описанных около них окружностей, лежащие на серединном перпендикуляре к их общей стороне , следовательно, , где — середина .

Возможны три случая:

1.

,

тогда (теорема о вписанном угле),

2. ,

тогда

(теорема о вписанном угле),

3.

, тогда точки и совпадают.

Во всех рассмотренных случаях имеем

.

Найдем

:

а)

(теорема косинусов для ),

б)

,

в)

.

Ответ:

.

Решение №2.

Треугольники

и симметричны относительно точки – середины . Поэтому при любом расположении центров и окружностей ( ; см. рисунки) искомое расстояние в два раза больше, чем расстояние от точки до , т.е. .

Из прямоугольного треугольника

: .

, а находим из теоремы косинусов, применённой к треугольнику : .

– радиус окружности, который находим по теореме синусов, применённой к треугольнику : .

В итоге,

.

Ответ:

.

Комментарий.

Эта задача — по планиметрии. В ней требуется найти расстояние между некоторыми точками в заданной геометрической фигуре.

Задача не очень проста по следующим причинам:

· для вычисления искомого расстояния используются некоторые хотя и стандартные, но не слишком часто употребляемые в задачах факты, такие как местонахождение центра описанной окружности, соотношение между вписанным и центральным углами, еорема синусов (для нахождения радиусов окружности);

· условие задачи, ввиду недостаточной определенности данного в ней угла, не совсем однозначно задает расположение центров, между которыми ищется расстояние, — они могут лежать как внутри соответствующих треугольников, так и снаружи, или даже на их границе, от чего могут зависеть (см. решение №1) рассуждения, необходимые для решения задачи;

· возможно решение (см. решение №2), в котором различные конфигурации аналитически описываются одинаково: расстояние между центрами в два раза больше, чем расстояние от одного из них до диагонали, относительно которой центры симметричны, а расстояние до диагонали ищется из прямоугольного треугольника с гипотенузой, равной радиусу, и катетом, равным половине диагонали, – такая аналитика автоматически даёт модуль котангенса.

При любом подходе к решению этой задачи от выпускника требуется понимание реализуемости различных геометрических конфигураций и умение вычислять стандартные элементы в заданном треугольнике.

Отметим, что в обоих решениях имеется доказательство равенства

(в решении №1 – несколько менее обоснованное). Однако, для учащихся при выполнении заданий С4 на ЕГЭ считается допустимым предъявление этого равенства и без подробных обоснований.

Критерии оценивания остаются такими же, как и в задаче 1.

Примеры оценивания выполнения заданий C4

Пример 2.1. Решение задачи 2, комментарий и оценка этого решения.

Комментарий.

В решении представлены рисунки, верно отражающие обе конфигурации.

Пояснения краткие, но верные, получен верный ответ. Некоторая напряженность есть в случае

, так как тогда нет

.

Однако, ответ полученный автором, верен и в этом случае.

Решение можно оценить максимальным баллом.

Оценка эксперта: 3 балла.

Пример 2.2. Решение задачи 2, комментарий и оценка этого решения.

Комментарий.

Ход решения понятен. Автор допускает ошибку в одной формуле:

, вместо , что приводит к неправильному ответу. Из текста невозможно однозначно понять, рассматривает ли ученик обе конфигурации, или ограничивается только случаем острого угла. По крайней мере, отсутствует даже минимальное указание на то, что для тупых углов подсчет аналогичен.