· все 500 тыс. руб. должны быть инвестированы;
· по крайней мере 100 тыс. руб. должны быть на срочном вкладе в любимом банке;
· по крайней мере 25% средств, инвестированных в акции, должны быть инвестированы в акции с низким риском;
· в облигации нужно инвестировать по крайней мере столько же, сколько в акции;
· не более чем 125 тыс. руб. должно быть вложено в бумаги с доходом менее чем 10%.
А) Определить портфель бумаг инвестора, удовлетворяющий требованиям и максимизирующий годовой доход. Какова величина этого дохода?
Б) Если инвестор захочет внести дополнительные средства в портфель бумаг, сохраняя ограничения, как изменится его годовой доход?
В) Дайте интерпретацию теневых цен для правых частей ограничений.
Г) Каковы интервалы устойчивости для доходности по ценным бумагам?
Задача №2
Оптимизация использования земель
Фермер имеет 150 га земель в одной из южных областей и в предстоящем сезоне собирается выращивать пшеницу, кукурузу, овес и сою. В таблице представлены данные о величине ожидаемого урожая, финансовых и трудовых затратах, расходе минеральных удобрении предполагаемых ценах на выращенное зерно.
| Тип зерна | Ожидаемая урожайность (ц/га) | Труд (час./га) | Издержки (руб./га) | Удобрения (ц/га) | Ожидаемая цена (руб./ц) |
| пшеница | 21 | 8 | 1000 | 4 | 160 |
| кукуруза | 30 | 10 | 1500 | 12 | 128 |
| овес | 18 | 6 | 600 | 2 | 73 |
| соя | 24 | 20 | 1200 | 8 | 155 |
Основываясь на анализе прошлогоднего рынка зерновых, фермер хочет произвести не менее 1500 ц пшеницы и не менее 1500 ц кукурузы, но не более 1250 ц овса.
Он располагает 250 тыс. руб. для покрытия издержек, связанных с обработкой и уходом за полями, и планирует работать 12 ч в день в течение 150-дневного сезона.
Он также не хочет перерасходовать имеющийся у него с прошлого года запас минеральных удобрений в 1200 ц.
А) Какое количество гектаров земли фермер должен отвести под каждую зерновую культуру, чтобы максимизировать прибыль от предполагаемого урожая?
Б) Все ли культуры стоит выращивать? Есть ли культура, которая исключена из оптимального плана? Насколько нужно увеличить цену за центнер (при условии, что урожайность та же), чтобы ее выгодно стало выращивать?
В) Фермеру предлагается арендовать близлежащий участок земли в 20 га за 50 тыс. руб. сезон. Стоит ли ему принимать предложение?
Задача №3
Максимизация прибыли универмага
Большой универсальный магазин собирается заказать новую коллекцию костюмов для весеннего сезона. Решено заказать 4 типа костюмов. Три типа - это костюмы широкого потребления: (1) костюмы из полиэстровых смесей, (2) шерстяные костюмы и (3) костюмы из хлопка. Четвертый тип - это дорогие импортные модельные костюмы из различных тканей. Имеющийся у менеджеров магазина опыт и специальные исследования позволяют оценить средние затраты рабочего времени продавцов на продажу одного костюма каждого типа, количество средств на рекламу и площадей в расчете на один костюм каждого типа. Все эти данные, а также прибыль от продажи одного костюма каждого типа представлены в таблице.
| Тип костюма | Прибыль на один костюм, долл. | Рабочее время продавцов | Затраты на рекламу на один костюм | Площадь на один костюм (кв. Фут) |
| Полиэстер | 35 | 0,4 | $2 | 1,00 |
| Шерсть | 47 | 0,5 | $4 | 1,50 |
| Хлопок | 30 | 0,3 | $3 | 1,25 |
| Импортный костюм | 90 | 1,0 | $9 | 3,00 |
Предполагается, что весенний сезон будет длиться 90 дней. Магазин открыт 10 часов в день, 7 дней в неделю. Два продавца постоянно будут в отделе костюмов. Выделенная отделу костюмов площадь составляет прямоугольник 100 х 60 футов. Бюджет, выделенный на рекламу всех костюмов на весенний сезон, составляет 15 тыс. долл.
А) Сколько костюмов каждого типа нужно закупить, чтобы максимизировать прибыль?
Б) Изменится ли оптимальное решение, если прибыль от продажи одного полиэстерового костюма переоценена (недооценена) на 1 $?
В) Будет ли для магазина прибыльно истратить 400$ на рекламу?
Задача №4
Оптимальный план развития новых программных продуктов
Компания «Корвет» производит и реализует программное обеспечение на CD-дисках. Компания оценивает возможность разработки шести новых программных приложений. В таблице представлена информация о затратах и ожидаемой прибыли от продажи приложений (в тыс. дол.).
| Приложение | Затраты на рекламу | Число программистов | Чистая прибыль |
| П1 | 400 | 6 | 2000 |
| П2 | 1100 | 18 | 3600 |
| П3 | 940 | 20 | 400 |
| П4 | 760 | 160 | 3000 |
| П5 | 1260 | 28 | 4400 |
| П6 | 1800 | 34 | 6200 |
| Ресурсы | 3500 | 60 |
У «Корвета» 60 программистов. Фирма может выделить 3,5 млн. дол. на разработку новых программных приложений.
А) Каков оптимальный набор приложений, который необходимо развивать?
Б) Все приложения стоит развивать, или есть убыточные? На сколько должна возрасти прибыль от реализации убыточных приложений, чтобы они вошли в оптимальный план?
В) Существуют ли дефицитные ресурсы?
Повлияет ли изменение числа программистов (затрат на рекламу) на оптимальное решение?
Задача № 5
Максимизация прибыли мебельного комбината
Цех мебельного комбината выпускает трельяжи, трюмо и тумбочки под телевизоры. Норма расхода материала в расчете на одно изделие, плановая себестоимость, оптовая цена предприятия плановый ассортимент и трудоемкость единицы продукции приведены в таблице. При этом запас древесно-стружечных плит досок еловых и березовых 90, 30 и 14м3 соответственно. Плановый фонд рабочего времени 16 800 чел./час.
| Показатели | Изделия | ||
| трельяж | трюмо | тумбочка | |
| Норма расхода материала, м3: древесно стружечные плиты | 0,032 | 0,031 | 0,038 |
| доски еловые | 0,020 | 0,020 | 0,008 |
| доски березовые | 0,005 | 0,005 | 0,006 |
| Трудоемкость, чел./ час | 10,2 | 7,5 | 5,8 |
| Плановая себестоимость, у.е. | 88,81 | 63,98 | 29,60 |
| Оптовая цена предприятия, у.е. | 93,00 | 67,00 | 30,00 |
| Плановый ассортимент, шт. | 350 | 290 | 1200 |
А) Исходя из необходимости выполнить план по ассортименту и возможности его перевыполнения по отдельным (и даже всем) показателям построить модель, на основе которой можно найти план производства, максимизирующий прибыль.