Методические рекомендации по выполнению лабораторных работ и расчетного задания по курсу «Основы автоматического управления» (стр. 3 из 6)
Для определения поправок воспользуемся методом наименьших квадратов, основанным на минимизации функции невязок, которая для дискретного случая имеет вид:
где
– экспериментальные данные;
– количество экспериментальных данных, определяемое временным интервалом наблюдения переходной функции и шагом интегрирования 
Минимум функции невязок соответствует выполнению условий:
После вычисления производных получим два уравнения:
и
Для удобства введем обозначения:
Тогда система уравнений перепишется в виде:
(9)Систему (9) решим методом Крамера, то есть определим поправки
по соотношениям: 
; 
,где
С учетом итераций искомые коэффициенты
определяются следующим образом: 
и 
,где
– номер итерации.Учитывая, что
, для первого шага итерации необходимо иметь начальные приближения для параметров 
, которые могут быть оценены по априорной информации об объекте идентификации.Точность идентификации параметров
определяют величины: 
; 
.Если ошибки
превышают заданную точность (например, 
), то итерационный процесс продолжается. В противном случае по найденным значениям коэффициентов вычисляются искомые параметры 
для звена 2-го порядка.1.4 Практическая часть
Идентифицировать объект 3-го порядка, используя модель звена 2-го порядка.
Входной сигнал задать в виде
Выбрать следующие значения параметров объекта:
1) собственная частота
2) коэффициент затухания
3) коэффициент усиления
4) постоянная времени объекта
2 ОПРЕДЕЛЕНИЕ ДИНАМИЧЕСКИХ
ХАРАКТЕРИСТИК ОБЪЕКТА
Динамические характеристики объекта исследования могут быть найдены, если на его вход подан стандартный сигнал, а реакция объекта наблюдается во времени. В зависимости от вида входного воздействия различают переходную (кривая разгона), импульсную и частотную характеристики. Рассмотрим, как по названным экспериментальным данным можно определить динамическую модель объекта в виде передаточной функции.
Кривые разгона получают при подаче на вход исследуемого объекта ступенчатого воздействия. Для статических объектов переходный процесс заканчивается при достижении выходной величины
нового установившегося значения 
. Для астатических объектов переходный процесс можно считать закончившимся, если скорость изменения выходной величины достигнет установившегося значения, то есть когда кривая разгона выйдет на прямую линию. Эксперимент планируют таким образом, чтобы для построения кривой разгона было отмечено не менее 20…30 точек.Существуют несколько методов обработки разгонной характеристики исследуемого объекта с целью получения его передаточной функции. Рассмотрим два из них.
2.1 Метод последовательного логарифмирования
Метод последовательного логарифмирования применим для аппроксимации гладких неколебательных переходных характеристик, которые могут быть представлены выражением:
(10)где
– вещественные числа ( 
– корни характеристического уравнения), причем
; (11)
– порядок аппроксимации.Условия (10), (11) означают, что аппроксимирующая передаточная функция имеет только вещественные простые полюса, расположенные на достаточно большом расстоянии один от другого (или отстоящие друг от друга на приблизительно равном расстоянии).
Задача состоит в том, чтобы по таблично или графически заданной разгонной характеристике объекта определить порядок уравнения, коэффициенты
и корни характеристического уравнения .Сущность метода заключается в последовательном приближении переходной функции
сначала решением уравнения 1-го порядка и, если аппроксимация неудовлетворительна, увеличением порядка приближения до 2-го и т.д. Величины и на каждом этапе аппроксимации определяются при помощи операции логарифмирования.Сначала предполагается, что
представляет собой решение дифференциального уравнения 1-го порядка, то есть имеет вид: 
откуда функция невязок 1-го порядка запишется как:
(12)Далее ищется логарифм модуля выражения (12):
Для определения неизвестных
и 
необходимо вычислить функцию 
и построить график функции 
в зависимости от времени 
При 
к графику функции 
проводится асимптота, которая на оси ординат отсекает отрезок, равный 
(рисунок 1).
Рисунок 1 – Логарифмирование функции невязок
Значение корня
определится из соотношения: