Учебно-методическое пособие для студентов экономического и физико-математического факультетов (стр. 7 из 16)
— критическая точка с уровнем a : 
.Электронная таблица Excel
Для работы со случайными величинами имеется множество, на первый взгляд, очень сложных функций. Однако существуют некоторые правила, на основании которых они строятся. Например, все функции начинаются с названия распределения: НОРМ — нормальное распределение, НОРМСТ — стандартное нормальное распределение, ЛОГНОРМ — логарифмическое нормальное распределение, СТЬЮД — распределение Стьюдента и т. д. Если функция заканчивается словом РАСП, то она возвращает значение вероятность на основании некоторых параметров распределения, если ОБР, то данная функция является обратной и возвращает значение аргумента на основании вероятности, а именно возвращает значение критической точки. Хотя функции и определяются практически одинаково, в описании аргументов имеется ряд особенностей, на которых впоследствии будем останавливаться. Рассмотрим более подробно функции, которые обрабатывают распределения.
НОРМСТРАСП(z) — возвращает значение вероятности для стандартного нормального распределения, то есть для случайной величины z = N (0,1). Нетрудно проверить, что значение данной функции при z = 0 будет равно 0,5. Для значений аргумента меньших, чем –8 данная функция выдает значение 0, а для больших 6 значение 1. С помощью данной функции можно проверить все табличные значения, а также построить функцию распределения нормального стандартного распределения. Функция НОРМСТОБР(вероятность) — возвращает обратное значение, на основании вероятности, то есть возвращает значение критической точки. Нетрудно проверить, что НОРМСТОБР(0,95) = 1,644853. Аналогично можно проверить все критические точки. Если вероятность =
= НОРМСТРАСП(z), то НОРМСТОБР(вероятность) = x. Следовательно, данные функции являются взаимнооднозначными.
Функции НОРМРАСП и НОРМОБР — определены аналогичным образом, то есть возвращают либо значение функции распределения, либо обратное значение. Однако в данных функциях используются произвольные нормальные случайные величины x = N(m,s), поэтому в качестве аргументов должны присутствовать математическое ожидание и среднеквадратичное отклонение. Однако имеются отличия. Выбор функция НОРМРАСП приводит к появлению диалогового окна (рис. 9), где помимо основных параметров распределения необходимо задать логическое значение Интегральный. Если ввести значение Истина, то будет вычисляться значение функции распределения, в противном случае плотность распределения. Используя данную функцию и графические возможности Excel можно легко построить графики данных функций. Функция НОРМОБР работает аналогично функции для стандартного распределения и возвращает значение критической точки.
Рис. 9
Функции ЛОГНОРМОБР и ЛОГНОРМРАСП возвращают значение функции распределения нормального логарифмического распределения и обратное значение. При работе с данными функциями необходимо помнить, что функция распределения определена только для положительных значений.
Для обработки распределения Стьюдента также имеются две функции. Функции СТЬЮДРАСП (рис. 10) на основании введенного значения x (положительного) и числа степеней свободы выдает вероятность того, что случайная величина превзойдет данное значение x, то есть a = P(t > x). Кроме этих, стандартных для распределения Стьюдента параметров,имеется дополнительный параметр, а именно значение переменной Хвосты. Если ввести данное значение равное 1, то всё будет вычисляться именно так, как было описано выше. Можно проверить, что значение функции СТЬЮДРАСП(0,5;10;1) равно 0,313.
Рис. 10
Однако, если значение Хвосты равно 2, то будет подсчитана вероятность того, что, случайная величина превзойдет по модулю значение x. Можно показать, что СТЬЮДРАСП(0,5;10;2) = 0,627. Поскольку функция плотности симметрична, то значение вероятности в первом случае в два раза меньше вероятности для второго случая.
При вызове функции СТЬЮДРАСПОБР необходимо в диалоговом окне задать только два параметра, а именно это значение вероятности и число степеней свободы, на основании которых будет вычислено значение односторонней критической точки.
Функции FРАСП и FРАСПОБР работают с распределением Фишера и запрашивают кроме стандартных аргументов значение двух степеней свободы. Если значение вероятности равно 0,05, то можно получить значения функции, например FРАСПОБР(0,05;1;1) = 161,4462, FРАСПОБР(0,05;10;100) = 1,926693. Данные функции являются обратными и нетрудно проверить, что FРАСП(0,9;5;7) = 0,529785; а FРАСПОБР(0,529;5;7) = 0,901545.
Описанных выше статистических функций Excel достаточно для вычисления значений распределений, однако мало для построения графиков как функций распределения, так и функций плотности. Поэтому кратко рассмотрим математический пакет MathCad.
Математический пакет MathCad
Для работы со случайными величинами в данном пакете имеется богатая библиотека встроенных функций, которые позволяют находить различные значения наиболее распространенных распределений. Каждое распределение представлено тремя функциями — плотность распределения, функция распределения и функция обратная к плотности распределения. Кроме этого имеется возможность генерировать выборки произвольно размера, с заданным законом распределения.
Например, для работы с нормальным распределением предназначены функции: pnorm(x,m,s), dnorm(x,m,s), qnorm(p,m,s), rnorm(n,m,s).
Функция dnorm(x,m,s) возвращает значение функции плотности вероятности в точке x, при математическом ожидании m, и среднеквадратичное отклонение s. Функции pnorm(x,m,s) возвращает значение функции распределения; а qnorm(p,m,s) такое значение x, что F(x) = p. Функция rnorm(n,m,s) генерирует вектор длиной n случайных чисел, имеющих данное распределение.
Подобное правило действует для всех встроенных функций можно интерпретировать следующим образом. Ели имеется некоторое имя некоторого распределения, то начальная буква d означает функцию плотности, буква p означает функцию распределения, буква q значение критической точки. Буква r перед именем функции позволяет генерировать вектор с заданным распределением.
Приведем список функций, предназначенных для обработки основных распределений:
· Нормальное распределение pnorm(x,m,s), dnorm(x,m,s), qnorm(p,m,s), rnorm(n,m,s).
· Логарифмически нормальное распределение plnorm(x,m,s), dlnorm(x,m,s), qlnorm(p,m,s), rlnorm(n,m,s).
· Распределение хи-квадрат pchisd(x,d), dchisd (x,d), qchisd (p,d), rchisd (n,d).
· Распределение Стьюдента pt(x,d), dt(x,d), qt(p,d), rt(n,d).
· Распределение Фишера pF(x,d1,d2), dF(x,d1,d2), qF(p,d1,d2), rF(n,d1,d2).
· Равномерное распределение punif(x,a,b), dunif(x,a,b), qunif(p,a,b), runif (n,a,b).
Пример документа MathCad, в котором строятся графики функция плотности и распределения для стандартного нормального распределения, имеет вид:
Из данного документа очевидны свойства функции плотности и распределения, а именно:
1. Функция распределения, не убывая, изменяется от 0 до 1 (пунктирная линия);
2. Функция плотности неотрицательна и ограничивает площадь равную единице (сплошная линия).
Изменяя значения математического ожидания и среднеквадратичного отклонения, можно получить различные функции плотности и распределения.
Имеется возможность также построить функции плотности распределения Стьюдента и Фишера, при этом необходимо помнить, что распределение Стьюдента имеет в качестве параметра значение степеней свободы. При увеличении данного значения функция плотность стремится снизу к функции плотности стандартного нормального распределения. Аналогичным образом можно построить соответствующие функции распределения Фишера, при этом необходимо задавать две степени свободы.
Задания для самостоятельной работы
1. Найти значения критических точек нормального распределения с вероятностями 0,9; 0,95; 0,975; 0,99.
2. Построить график функции распределения и функции плотности для нормального распределения с параметрами m = 4, s 2 =0,3 на интервале от 0 до 8.
3. Работая с документом MathCad, построить:
a) функции плотности и функции нормального распределения
1) X ~ N(0,1),
2) X ~ N(5,1),
3) X ~ N(10,0.1),
4) X ~ N(-2,4),
5) X ~ N(100,0.6);
b) функции плотности для распределения Стьюдента с числом степеней свободы:
1) v = 7,
2) v = 3,
3) v =70,
4) v = 15,
5) v = 170;
c) распределение Фишера
1) k1 = 6; k2 = 6,
2) k1 = 60; k2 = 10,
3) k1 = 100; k2 = 6,
4) k1 = 58; k2 = 12,
5) k1 = 80; k2 = 80.
Для выполнения последнего задания необходимо активизировать внедренный документ и задать необходимые функции и аргументы.