Учебно-методическое пособие для студентов экономического и физико-математического факультетов (стр. 9 из 16)
экспоненциальную модель: y = 334,76e–0,0659x R2 = 0,789,
логарифмическую модель: y = –122,94Ln(x) + 457,51 R2 = 0,787.
Если имеется выбор между несколькими моделями, то самый простой способ — это задавать различные уровни тренда и выбрать ту модель, у которой значение коэффициента детерминации будет максимальным.
В данном случае значения коэффициентов детерминации несильно отличаются в различных моделях, поэтому нет объективных причин выбрать наилучшую, а следовательно, необходимо проводить дополнительные исследования либо используя среднюю ошибку аппроксимации, либо множественную регрессионную модель (которую мы будем рассматривать далее).
Хотя нами и получены модели, среди которых нельзя сразу выбрать лучшую, необходимо помнить о том, что прогноз, полученный на основании каждой модели, будет различным. Как было показано ранее (лабораторная работа № 2), прогноз, в случае использования линейной модели, при x = 17 будет равен 109,014. Прогноз, полученный на основании логарифмической модели, равен 109,1948, а на основании экспоненциальной модели — 109,1927. Эти значения получены подстановкой в уравнения моделей значения x = 17.
Использование результатов, полученных с помощью точечной диаграммы, имеет много недостатков. Во-первых, сам набор функций достаточно ограниченный, а одна из актуальных задач современной эконометрики заключается в подборе новых, более адекватных моделей, а во-вторых, проверять гипотезы о значимости коэффициентов, да и самой регрессии в целом придется вручную. К тому же посредством точечной диаграммы можно получить модель только для парного случая.
Поэтому иногда более удобно использовать преобразования, а уже затем надстройку Регрессия. Как мы уже знаем из теории, любая из предложенных нелинейных моделей может быть сведена к линейной либо заменой переменных, либо логарифмированием. Поэтому в таблицу исходных данных добавляют дополнительные столбцы, в которых находятся значения логарифмов, а затем строят регрессионную модель между необходимыми столбцами. Однако в этом случае нужно помнить о том, что, переходя к линейной модели, посредством логарифмирования получают изменённые значения параметров, которые затем необходимо восстанавливать.
Из экономической теории известно, что спрос является убывающей функцией цены, то есть при увеличении цены спрос убывает. Следовательно, разумной будет попытка найти лучшую модель среди убывающих функций. Имеется огромное количество функций, которые при некоторых значениях параметров являются убывающими, например, линейная, гиперболическая, показательная, с основанием меньше 1, и т. д. Рассмотрим способ построения показательной модели 
. После логарифмирования данная модель примет вид 
. Следовательно, для получения параметров модели необходимо значения x задавать как и прежде, а значения y заменить на значения логарифмов, то есть задать Входной интервал Y в виде D1:D16. В этом случае исходная таблица данных, в которой имеется дополнительный столбец, будет иметь вид (табл. 10):
Таблица 10
| Номер наблюдения | Цена x (р.) | Спрос y (тыс. шт.) | ln(y) |
| 1 | 15,09р. | 125,1779 | 4,829736 |
| 2 | 15,21р. | 123,8094 | 4,818744 |
| 3 | 15,28р. | 121,175 | 4,797236 |
| 4 | 15,49р. | 116,9143 | 4,761441 |
| 5 | 15,54р. | 119,8643 | 4,78636 |
| 6 | 15,62р. | 118,0681 | 4,771261 |
| 7 | 15,70р. | 123,5887 | 4,816959 |
| 8 | 15,91р. | 117,0877 | 4,762923 |
| 9 | 15,92р. | 116,1699 | 4,755054 |
| 10 | 15,95р. | 118,3436 | 4,773592 |
| 11 | 16,31р. | 116,2008 | 4,75532 |
| 12 | 16,33р. | 111,4565 | 4,713635 |
| 13 | 16,60р. | 115,1026 | 4,745824 |
| 14 | 16,69р. | 110,1056 | 4,70144 |
| 15 | 16,76р. | 110,0231 | 4,700691 |
После вызова надстройки Регрессия будет получена итоговая таблица (табл. 11).
Таблица 11
| ВЫВОД ИТОГОВ | |
| Регрессионная статистика | |
| Множественный R | 0,888266 |
| R-квадрат | 0,789016 |
| Нормированный R-квадрат | 0,772787 |
| Стандартная ошибка | 0,019221 |
| Наблюдения | 15 |
Продолжение табл. 11
| Дисперсионный анализ | ||||||
| Df | SS | MS | F | Значимость F | ||
| Регрессия | 1 | 0,01796 | 0,01796 | 48,61611 | 9,73E–06 | |
| Остаток | 13 | 0,004803 | 0,000369 | |||
| Итого | 14 | 0,022763 | ||||
| Коэффи- циенты | Стандартная ошибка | t- статистика | P- значение | Нижние 95 % | Верхние 95 % | |
| Y-пересечение | 5,813415 | 0,1503 | 38,67869 | 8,27E–15 | 5,488711 | 6,138119 |
| Цена x (р.) | –0,06591 | 0,009452 | –6,97253 | 9,73E–06 | –0,08633 | –0,04549 |
Используя раздел Коэффициенты можно записать итоговую модель вид 
.
После потенцирования будет 
. Аналогичным образом можно построить произвольную регрессионную модель.
При подборе оптимальной модели кроме коэффициента детерминации можно использовать и среднюю ошибку аппроксимации. Данные вычисления достаточно очевидны, и их рекомендуется выполнить самостоятельно на основании полученных после вызова надстройки данных.
Задания для самостоятельной работы
1. Подберите наиболее подходящую модель для таблицы своего варианта.
2. Просчитайте значение средней ошибки аппроксимации для каждой модели.
3. Смоделируйте выборку, которая отвечает показательной модели.
Глава 2. МОДЕЛЬ МНОЖЕСТВЕННОЙ РЕГРЕССИИ
Цель: научиться обрабатывать множественную регрессионную модель и обосновывать её значимость и значимость каждого регрессора.
Основные формулы и понятия:
Регрессионная модель в случае двух регрессоров.
— модель, с двумя регрессорами;
— уравнение регрессии (плоскость регрессии);Исходными данными для построения модели является выборка вида
. 
— уравнение для параметров регрессии. Регрессионная модель с произвольным числом регрессоров.
— модель множественной регрессии;
— уравнение множественной регрессии.
Исходные данные значений регрессоров имеют вид
,где 
, 
, 
— значение j-го регрессора в i-м испытании.
Исходные данные значений зависимой переменной
— уравнение для параметров регрессии; 
— стандартное отклонение коэффициентов; 
— стандартных ошибок коэффициентов, где 
— диагональный элемент матрицы
; 
— коэффициент детерминации; 
,
где rij — парные коэффициенты корреляции между регрессорами 
и 
, a ri0 — парные коэффициенты корреляции между регрессором и y;