Учебно-методическое пособие по специальным разделам высшей математики Самара 200 (стр. 4 из 7)
Решение. Для нормального распределения вероятность того, что абсолютная величина отклонения случайной величины
от математического ожидания 
меньше положительного числа 
, задается формулой 
: 
,где
- функция Лапласа 
. С учетом исходных данных получаем 
.Задача 17. Непрерывная случайная величина распределена нормально с
, 
. Найти интервал, в котором согласно правилу «трех сигм» попадает случайная величина с вероятностью 0,9973.Решение. Правило «трех сигм» представлено формулой (23)
.Так как
то 
откуда 
.Решая последнее неравенство, получаем
,откуда
.Задача 18. Вероятность поражения мишени при одном выстреле 0,8. Найти вероятность того, что при 100 выстрелах мишень будет поражена 88 раз.
Решение. Для решения этой задачи можно воспользоваться локальной теоремой Лапласа (24):
,где
(значения функции 
находят по табл. приложений [1]).По условию
, 
, 
, 
. Тогда 
.Задача 19. Вероятность появления события в каждом из 100 независимых испытаний постоянна и равна 0,5. Найти вероятность того, что событие появится от 60 до 80 раз.
Решение. Задача решается с помощью интегральной теоремы Лапласа (25)
,где
- функция Лапласа (21).Здесь
Тогда 
. Задача 20. Игральную кость бросают 125 раз. Найти вероятность того, что относительная частота появления шестерок отклонится от его вероятности не более чем на 0,1.
Решение. Воспользуемся формулой (26)
,где
- функция Лапласа (21). Так как 
, 
(вероятность выпадения шестерки при бросании игральной кости), 
, 
, то
.МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА
Задача 21. Методом моментов по выборке
| X | 3 | 4 | 5 |
n | 70 | 20 | 10 |
найти точечную оценку параметра
, предполагая, что теоретическое распределение является показательным: 
Решение. Согласно методу моментов нужно приравнять начальный теоретический момент первого порядка (математическое ожидание
) к начальному эмпирическому моменту первого порядка (выборочному среднему 
): 
.По формулам (18) для показательного распределения имеем:
. Выборочное среднее находим по формуле 
: 
,где
- варианта выборки, 
- частота , 
- объем выборки.Получаем
.Приравнивая моменты, находим
: 
=> 
.Задача 22. Найти доверительный интервал для оценки математического ожидания нормального распределения при доверительной вероятности (надежности), равной
, если выборочное среднее 
, среднее квадратическое отклонение 
, а объем выборки 
.Решение. Доверительный интервал для математического ожидания при нормальном распределении равен
: 
,где
- выборочное среднее, 
- среднее квадратическое отклонение, 
- объем выборки, 
, 
- затабулированная функция Лапласа 
.Так как
, из соотношения 
получаем 
и с помощью таблиц находим 
. Тогда 
и 
.Задача 23. По выборке из 24 вариант выдвинута гипотеза о нормальном распределении генеральной совокупности. Используя критерий Пирсона при уровне значимости
среди заданных значений 
= {34, 35, 36, 37, 38} указать: а) наибольшее, для которого нет оснований отвергать гипотезу; б) наименьшее, начиная с которого гипотеза должна быть отвергнута.Решение. Найдем число степеней свободы
с помощью формулы 
: