Тема: «Решение задач с параметрами» (стр. 3 из 4)
(а+1)(а+3)=8а, отсюда а2-4а+3=0.
D>0, а1=1 и а2=3. Оба значения входят в область допустимых значений.
2)
= 
;ОДЗ: а
; а -3.4а(а+3)=8(3а-1), отсюда а2-3а+2=0.
D>0, а1=2 и а2=1. Оба значения входят в область допустимых значений.
3)
= ;ОДЗ: а
; а 0.4а2=(а+1)(3а-1), отсюда а2-2а+1=0, (а-1)2=0, а=1.
Ответ: при а=1 система имеет бесконечное множество решений.
Пример 10. При каких m и n система
а) имеет единственное решение;
б) не имеет решений.
а) система имеет единственное решение, если
;Это условие выполняется при m
6.б) система не имеет решений, если
= 
;1)
= , отсюда m=6.2)
, отсюда n 8.3)
, отсюда n 
; т.е. при m=6 n 8.Ответ: а) при m
6 система имеет единственное решение;б) при m=6 и n
8 система не имеет решений.2.Применение графического способа при решении задач с параметрами.
Пример 11. Решить уравнение х2-4х+2=а.
Рассмотрим функцию у1= х2-4х+2, графиком которой является парабола, ветви направлены вверх. Для удобства построения выделим полный квадрат у=(х-2)2-2. Вершиной параболы является точка с координатами (2;-2).
Рассмотрим функцию у2=а. Графиком этой функции является прямая, параллельная оси ОХ.
Так как параметр содержится в уравнении прямой, то решение уравнения будет зависеть от расположения данной прямой. Построим графики рассматриваемых функций: у1= х2-4х+2 и у2=а.
По графикам построенных функций можно сделать следующий вывод:
при а<-2 уравнение не имеет корней;
при а=-2 уравнение имеет единственный корень, х=2;
при а>-2 уравнение имеет два корня.
При графическом способе решения данного уравнения мы легко определили количество корней в зависимости от значения а. Однако не всегда удается найти их аналитическое значение, как в случае при а>-2.
Найдем значение этих корней аналитическим способом.
Если а>-2, то D > 0.
Находим корни по формуле: х1,2=
х1,2=2±
Ответ: если а<-2, то уравнение не имеет корней;
если а=-2, то х=2;
если а>-2, то х1,2=2±
.Пример12 . Найти все значения параметра а, для которых вершины парабол у1= х2-2(а+1)х+1 и у2= ах2-х+а лежат по разные стороны от прямой у=
.Решение данной задачи начнем с анализа графической модели.
Рассмотрим функцию у1= х2-2(а+1)х+1, графиком которой является парабола, ветви направлены вверх. Графиком функции у2= ах2-х+а является парабола, направление ветвей которой будет зависеть от значения параметра а.
Согласно условию задачи схематично можно изобразить четыре возможных варианта:
Найдем координаты вершин парабол:
хв1=а+1; ув1=1-(а+1)2.
хв2=
; ув2= 4а2-14а.Согласно схематичным чертежам записываем четыре системы неравенств:
Рассмотрим более подробно решение первой системы . Преобразование остальных систем аналогично , отличается только знаками:
Рационально далее решить систему методом интервалов:
Система решений не имеет.
Объединяя решения систем получаем ответ:
Пример 13. Найти все значения параметра а, при которых корни уравнения х2+х+а=0 действительные, различные и оба больше а.
Рассмотрим функцию у= х2+х+а, графиком которой является парабола. Ветви параболы направлены вверх. Абсцисса вершины параболы хв=-
.Графическая интерпретация данной задачи:
По условию задачи уравнение имеет два различных действительных корня, которые одновременно больше а, тогда и только тогда, когда:
D>0,fa>0,xв>a;⇒ D>0,fa>0,xв>a;
Ответ: (-
; -2).Пример 14. Найти все значения параметра а, при которых корни уравнения ах2+2(а+3)х+а+2=0 неотрицательны.
Корни уравнения неотрицательны, значит они могут принимать значения больше либо равные нулю, не сказано, что корни различны, следовательно это могут быть два совпавших корня.
Графическая интерпретация данной задачи:
Чтобы выполнялось условие задачи, необходимо и достаточно
D≥0,f0≥0,xв>0, a>0. или D≥0,f0≤0,xв>0, a<0.
Решая системы методом интервалов, получаем, что решением первой системы является пустое множество, а решением второй системы - -2,25;-2
Ответ: а
-2,25;-2.Пример15. Найти все значения параметра а, при которых корни уравнения ах2-(а+1)х+а+3=0 имеют разные знаки.
Для того, чтобы парабола, являющаяся графиком функции у= ах2-(а+1)х+а+3, пересекала ось абсцисс в точках, между которыми располагается начало координат, необходимо и достаточно, чтобы квадратный трехчлен ах2-(а+1)х+а+3 принимал в точке х = 0 отрицательное или положительное значение, в зависимости от направления ветвей параболы. Графическая интерпретация данной задачи: