Тема а (стр. 2 из 4)
Древними греками исследовались также и многие геометрические свойства платоновых тел; с плодами их изысканий можно ознакомиться по 13-й книге Начал Евклида. Изучение платоновых тел и связанных с ними фигур продолжается и поныне. И хотя основными мотивами современных исследований служат красота и симметрия, они имеют также и некоторое научное значение, особенно в кристаллографии. Кристаллы поваренной соли, тиоантимонида натрия и хромовых квасцов встречаются в природе в виде куба, тетраэдра и октаэдра соответственно. Икосаэдр и додекаэдр среди кристаллических форм не встречаются, но их можно наблюдать среди форм микроскопических морских организмов, известных под названием радиолярий. [1]
4.Пять правильных многогранников
Естественно спросить, существуют ли кроме платоновых тел другие правильные многогранники. Как показывают следующие простые соображения, ответ должен быть отрицательным. Пусть {p, q} – произвольный правильный многогранник. Так как его гранями служат правильные р-угольники, их внутренние углы, как нетрудно показать, равны (180 – 360/р) или 180 (1 – 2/р) градусам. Так как многогранник {p, q} выпуклый, сумма всех внутренних углов по граням, примыкающим к любой из его вершин, должна быть меньше 360 градусов. Но к каждой вершине примыкают q граней, поэтому должно выполняться неравенство
где символ < означает «меньше чем». После несложных алгебраических преобразований полученное неравенство приводится к виду
Нетрудно видеть, что p и q должны быть больше 2. Подставляя в (1) р = 3, мы обнаруживаем, что единственными допустимыми значениями q в этом случае являются 3, 4 и 5, т.е. получаем многогранники {3, 3}, {3, 4} и {3, 5}. При р = 4 единственным допустимым значением q является 3, т.е. многогранник {4, 3}, при р = 5 неравенству (1) также удовлетворяет только q = 3, т.е. многогранник {5, 3}. При p > 5 допустимых значений q не существует. Следовательно, других правильных многогранников, кроме тел Платона, не существует.
Все пять правильных многогранников перечислены в таблице, приведенной ниже. В трех последних столбцах указаны N0 – число вершин, N1 – число ребер и N2 – число граней каждого многогранника.
К сожалению, приводимое во многих учебниках геометрии определение правильного многогранника неполно. Распространенная ошибка состоит в том, что в определении требуется лишь выполнение приведенного выше условия (а), но упускается из виду условие (б). Между тем условие (б) совершенно необходимо, в чем проще всего убедиться, рассмотрев выпуклый многогранник, удовлетворяющий условию (б), но не удовлетворяющий условию (б). Простейший пример такого рода можно построить, отождествив грань правильного тетраэдра с гранью еще одного тетраэдра, конгруэнтного первому. В результате мы получим выпуклый многогранник, шестью гранями которого являются конгруэнтные равносторонние треугольники. Однако к одним вершинам примыкают три грани, а к другим – четыре, что нарушает условие (б). [1]
| ПЯТЬ ПРАВИЛЬНЫХ МНОГОГРАННИКОВ | ||||
| Название | Запись Шлефли | N0 (число вершин) | N1 (число ребер) | N2 (число граней) |
| Тетраэдр | {3, 3} | 4 | 6 | 4 |
| Куб | {4, 3} | 8 | 12 | 6 |
| Октаэдр | {3, 4} | 6 | 12 | 8 |
| Икосаэдр | {3, 5} | 12 | 30 | 20 |
| Додекаэдр | {5, 3} | 20 | 30 | 12 |
5.Свойства правильных многогранников
Вершины любого правильного многогранника лежат на сфере (что вряд ли вызовет удивление, если вспомнить, что вершины любого правильного многоугольника лежат на окружности). Помимо этой сферы, называемой «описанной сферой», имеются еще две важные сферы. Одна из них, «срединная сфера», проходит через середины всех ребер, а другая, «вписанная сфера», касается всех граней в их центрах. Все три сферы имеют общий центр, который называется центром многогранника.
Двойственные многогранники. Рассмотрим правильный многогранник {p, q} и его срединную сферу S. Средняя точка каждого ребра касается сферы. Заменяя каждое ребро отрезком перпендикулярной прямой, касательной к S в той же точке, мы получим N1 ребер многогранника, двойственного многограннику {p, q}. Нетрудно показать, что гранями двойственного многогранника служат правильные q-угольники и что к каждой вершине примыкают р граней. Следовательно, многограннику {p, q} двойствен правильный многогранник {q, p}. Многограннику {3, 3} двойствен другой многогранник {3, 3}, конгруэнтный исходному (поэтому {3, 3} называется самодвойственным многогранником), многограннику {4, 3} двойствен многогранник {3, 4}, а многограннику {5, 3} – многогранник {3, 5}. На рис. 3 многогранники {4, 3} и {3, 4} показаны в положении двойственности друг другу. Кроме того, каждой вершине, каждому ребру и каждой грани многогранника {p, q} соответствует единственная грань, единственное ребро и единственная вершина двойственного многогранника {q, p}. Следовательно, если {p, q} имеет N0 вершин, N1 ребер и N2 граней, то {q, p} имеет N2 вершин, N1 ребер и N0 граней.
Так как каждая из N2 граней правильного многогранника {p, q} ограничена р ребрами и каждое ребро является общим ровно для двух граней, то всего имеется pN2/2 ребер, поэтому N1 = pN2/2. У двойственного многогранника {q, p} ребер также N1 и N0 граней, поэтому N1 = qN0/2. Таким образом, числа N0, N1 и N2 для любого правильного многогранника {p, q} связаны соотношением
Симметрия. Основной интерес к правильным многогранникам вызывает большое число симметрий, которыми они обладают. Под симметрией (или преобразованием симметрии) многогранника мы понимаем такое его движение как твердого тела в пространстве (например, поворот вокруг некоторой прямой, отражение относительно некоторой плоскости и т.д.), которое оставляет неизменными множества вершин, ребер и граней многогранника. Иначе говоря, под действием преобразования симметрии вершина, ребро или грань либо сохраняет свое исходное положение, либо переводится в исходное положение другой вершины, другого ребра или другой грани.
Существует одна симметрия, которая свойственна всем многогранникам. Речь идет о тождественном преобразовании, оставляющем любую точку в исходном положении. С менее тривиальным примером симметрии мы встречаемся в случае прямой правильной р-угольной призмы. Пусть l – прямая, соединяющая центры оснований. Поворот вокруг l на любое целое кратное угла 360/р градусов является симметрией. Пусть, далее, π– плоскость, проходящая посредине между основаниями параллельно им. Отражение относительно плоскости π (движение, переводящее любую точку P в точку P' , такую, что p пересекает отрезок PP' под прямым углом и делит его пополам) – еще одна симметрия. Комбинируя отражение относительно плоскости π с поворотом вокруг прямой l, мы получим еще одну симметрию.
Любую симметрию многогранника можно представить в виде произведения отражений. Под произведением нескольких движений многогранника как твердого тела здесь понимается выполнение отдельных движений в определенном заранее установленном порядке. Например, упоминавшийся выше поворот на угол 360/р градусов вокруг прямой l есть произведение отражений относительно любых двух плоскостей, содержащих l и образующих относительно друг друга угол в 180/р градусов. Симметрия, являющаяся произведением четного числа отражений, называется прямой, в противном случае – обратной. Таким образом, любой поворот вокруг прямой – прямая симметрия. Любое отражение есть обратная симметрия. [1]