Тема а (стр. 3 из 4)

Других видов правильных многогранников, кроме перечисленных пяти, нет. Докажем это.

Обозначим через p число сторон у грани правильного многогранника. Так как двугранные углы равны, то все пространственные углы в правильном многограннике также равны. Поэтому в каждой вершине правильного многогранника сходится одно и тоже число граней, которое мы обозначим через q .

Используя правильность граней и равенство двугранных углов, древние греки легко получили, что для правильных многогранников пары целых чисел ( p , q ) могут быть лишь такими (3, 3), (4, 3), (3, 4), (3, 5), (5, 3). Однако благодаря теореме Эйлера можно получить те же пять пар чисел не только для правильных многоугольников, но и вообще для произвольных выпуклых многогранников, у которых каждая грань имеет одинаковое число p сторон и в каждой вершине сходится одинаковое число q граней.

Действительно, так как каждое ребро принадлежит ровно двум граням, а каждая грань имеет ровно p ребер, то p · Г равно удвоенному числу ребер в многограннике: p · Г = 2Р. Поскольку каждое ребро имеет ровно два конца, а в каждой вершине сходится ровно q ребер, то q · В = 2Р. Итак,

Г = 2Р/ p и В = 2Р/ q (4)

Подставим отношение (4) в формулу Эйлера:

2P/ q + 2P/ p = P + 2 (5)

Найдем Р из (5):

P = 2 pq /(2 · ( p + q ) - pq ) (6)

Знаменатель дроби в (6) равен 4 - ( p - 2)( q - 2). а так как знаменатель положителен, то ( p - 2)( q - 2)<4. С другой стороны, как число p сторон у грани, так и число q граней, сходящихся в вершине, не меньше 3. Поэтому уравнение (5) при условии p ≥3, q ≥3 имеет пять и только пять целочисленных решений (p , q ): (3, 3), (3, 4), (4, 3), (3, 5), (5, 3).

Отсюда следует, что комбинаторно различных многогранников, у которых все грани одноименные многоугольники и в каждой вершине сходится одинаковое число граней, не более пяти.

Вернемся теперь к правильным многогранникам. Соответствующая правильному многограннику пара чисел (p , q ) называется его символом Шлефли. У правильного многогранника может быть один из пяти символов Шлефли. Теперь покажем, что для каждого из символов Шлефли существует правильный многогранник.

Легко убедиться, что символу Шлефли (3, 3) соответствует правильный тетраэдр, а символу (4, 3) - куб. К многограннику с символом Шлефли (3, 4) - октаэдру - легко прийти от куба. Нужно взять центры квадратных граней куба - их шесть. На каждой тройке центров граней, прилегающих к каждой из 8 вершин куба, построим по правильному треугольнику (рис.16). Легко проверить, что все двугранные углы между гранями равны. Этот многогранник правильный. Он имеет восемь граней и называется октаэдром.

Несколько сложнее убедиться в существование правильного многогранника, соответствующего символу (3, 5), т. е. многогранника с треугольными гранями, сходящимися по пять в каждой вершине. Возьмем три равных золотых прямоугольника, т.е. прямоугольника с соотношением сторон ( +1)/2. Расположим их во взаимно перпендикулярных плоскостях, как показано на рисунке 17. Пусть стороны золотых прямоугольников для определенности равны + 1 и 2. Возьмем произвольную вершину А₁ одного из прямоугольников. Существуют в точности пять вершин этих прямоугольников, а именно вершины В1, А2, В3, D3, D2 находящиеся от А₁ на одинаковом расстоянии 2. По теореме Пифагора можно установить, что треугольники А₁В₁А₂, А₁А₂В₃, А₁В₃D₃, А₁D₃D₂, А₁D₂В₁ правильные. Кроме того, любые два смежных треугольника образуют равные двугранные углы. Точно такие правильные треугольники появляются во всех 12 вершинах прямоугольников, по пять в каждой. Таким образом, существует правильный многогранник, соответствующий символу (3, 5). Этот многогранник называется икосаэдром, что в переводе с греческого означает двадцатигранник. У икосаэдра 12 вершин.

Чтобы построить правильный многогранник с символом (5, 3), возьмем в качестве вершин этого многогранника центры всех двадцати треугольных граней икосаэдра. Центры пяти треугольников, сходящихся в той или иной вершине икосаэдра, образуют вершины плоского правильного пятиугольника. Всего таких пятиугольников столько же, сколько вершин у икосаэдра - двенадцать. Эти правильные пятиугольники, сходящиеся по три в каждой вершине (в центре треугольной грани икосаэдра), образуют двенадцатигранник - додекаэдр. Все двугранные углы у этого додекаэдра равны. Поэтому этот многогранник является правильным.

Два правильных многогранника - октаэдр и додекаэдр - строились при помощи других многогранников - куба и икосаэдра. Причем каждая вершина, скажем, октаэдра соответствовала некоторой вершине куба. То же самое можно сказать и о паре многогранников икосаэдр - додекаэдр.

Два многогранника называются дуальными, если между множеством граней одного из них и множеством вершин другого существует взаимно однозначное соответствие, причем такое, что если две грани первого из них смежные ребру, то соответствующие этим граням вершины второго многогранника соединяются с ребром. Следует отметить, что у пары дуальных многогранников число вершин одного равно числу граней другого, а ребер у них поровну.

Дуальные многогранники состоят лишь из пяти- и шестиугольников, причем в каждой вершине сходятся по три грани. Такие многогранники называются фуллеренами. Изучение фуллеренов очень важно для приложений в химии, медицине, архитектуре. Теорема Грюнбаума в переводе на язык фуллеренов означает, что во всяком фуллерене имеется в точности двенадцать пятиугольников, а шестиугольников может быть какое угодно число, не меньше двух.

Чрезвычайно важная задача - как перечислить всевозможные структуры фуллеренов с наперед заданным числом n шестиугольников и сколько их в зависимости от n - остается актуальной и по сей день. [2]

6.Полуправильные многогранники

Полуправильные многогранники являются естественным расширением правильных многогранников. Это выпуклые многогранники, гранями которых являются правильные многоугольники, - возможно, с разным числом сторон, и в каждой вершине сходится одинаковое число граней. Большинство из них были открыты еще Архимедом. Но открывались они и в ХХ веке.

Самые простые из многогранников Архимеда получаются из правильных многогранников операцией «усечения», состоящей в отсечении плоскостями углов многогранника. Так, если срезать углы тетраэдра плоскостями, каждая из которых отсекает третью часть его ребер, выходящих из одной вершины, то получим усеченный тетраэдр, имеющий восемь граней (рис.1). Из них четыре – правильные шестиугольники и четыре – правильные треугольники. В каждой вершине этого многогранника сходится три грани.

Если указанным образом срезать вершины октаэдра и икосаэдра, то получим соответственно усеченный октаэдр (рис.2) и усеченный икосаэдр (рис.3). Обратите внимание на то , что поверхность футбольного мяча изготавливают в форме поверхности усеченного икосаэдра. Из куба и додекаэдра также можно получить усеченный куб (рис.4) и усеченный додекаэдр (рис.5).

Для того, чтобы получить еще один правильный многогранник, проведем в кубе отсекающие плоскости через середины ребер, выходящих из одной вершины. В результате получим полуправильный многогранник, который называется кубооктаэдром (рис.6). Его гранями являются шесть квадратов, как у куба, и восемь правильных треугольников, как у октаэдра. Отсюда и название – кубооктаэдр.

Аналогично, если в додекаэдре отсекающие плоскости провести через середины ребер, выходящих из одной вершины, то получим многогранник, который называется икосододекаэдром (рис.7). У него двадцать граней – правильные треугольники и двенадцать граней – правильные пятиугольники, то есть все грани икосаэдра и додекаэдра.

Еще два многогранника называются усеченный кубооктаэдр (рис.8) и усеченный икосододекаэдр (рис.9), хотя их нельзя получить усечением кубооктаэдра и икосододекаэдра. Отсечение углов этих многогранников дает не квадраты, а прямоугольники.

Мы рассмотрели 9 из 13 описанных Архимедом полуправильных многогранников. Четыре оставшихся – многогранники более сложного типа.

На рисунке 10 мы видим ромбокубооктаэдр. Его поверхность состоит из граней куба и октаэдра, к которым добавлены еще 12 квадратов.

На рисунке 11 изображен ромбоикосододекаэдр, поверхность которого состоит из граней икосаэдра, додекаэдра и еще 30 квадратов. На рисунках 12, 13 представлены так называемые плосконосый (курносый) куб и плосконосый (курносый) додекаэдр, поверхности которых состоят из граней куба или додекаэдра, окруженных правильными треугольниками.

Кроме этих тринадцати тел Архимеда в число полуправильных многогранников включается 14-й многогранник, называемый псевдоархимедовым (рис.14). Он получается из ромбокубооктаэдра поворотом нижней чаши на 45º.