Учащиеся средних веков считали доказательство теоремы Пифагора очень трудным и прозвали его «ослиным мостом» или «бегством убогих», так как слабые ученики бежали от геометрии, а те, кто заучивал теоремы наизусть, без понимания, были не в состоянии осилить теорему Пифагора: она служила для них чем – то вроде непреодолимого моста. Из – за иллюстрирующих
теорему чертежей учащиеся называли её также «ветреной мельницей»,
19
рисовали забавные карикатуры (рис. 3) и придумывали шутливые стишки вроде такого:
Пифагоровы штаны
Во все стороны равны.
Теорема Пифагора занимает в геометрии особое место. На её основе можно вывести или доказать большинство теорем. А ещё она замечательна тем, что сама по себе вовсе не очевидна. Сколько ни смотри на прямоугольный треугольник, никак не увидишь, что его стороны a, b и c связывает простое соотношение: c2 = а2 + b2 (рис. 4)
20III. Разминка.
(Перед доказательством теоремы Пифагора рекомендуется провести устную разминку, предложив ученикам несколько заданий по готовым чертежам. В процессе их решения фактически воспроизводятся некоторые фрагменты будущего доказательства.)
1.Определите вид треугольника, изображенного на рис.5. Как называются стороны такого треугольника? Укажите названия каждой стороны данного треугольника.
2. По данным рис. 6 найти угол β.
3. По данным рис. 7 определите вид четырехугольника КМNР.
Замечание. В последней задаче учащиеся должны доказать, что четырехугольник КМNР — квадрат. Ее необходимо обсудить подробно, так как такая же конфигурация используется при доказательстве теоремы Пифагора.
IV.Доказательство теоремы
После разминки формулируем теорему и доказываем ее (по учебнику).
21
Затем можно познакомить детей с забавным стихотворением И. Дырченко, которое помогает запомнить формулировку теоремы Пифагора.
Если дан нам треугольник,
И притом с прямым углом,
То квадрат гипотенузы
Мы всегда легко найдем:
Катеты в квадрат возводим,
Сумму степеней находим —
И таким простым путем
К результату мы придем.
V.Закрепление материала
На следующем этапе предлагаем учащимся несколько задач по готовым чертежам, демонстрируя их с помощью кодоскопа.
1. Вычислите, если возможно:
а) сторону АС треугольника АВС (рис. 8);
б) сторону МN треугольника КМN (рис. 9);
в) диагональ ВD квадрата ВСВF (рис. 19);
г) сторону КР треугольника КРR? (рис. 11).
Ответы: а) √ 5; б) 5; в) 5; г) сторону треугольника вычислить нельзя.
22
Замечание. Следует обратить внимание учеников на то, что в задаче 1, г не хватает данных для решения. Неясно, какой вид имеет треугольник КРR? В такой ситуации теорема Пифагора, конечно, неприменима.
2. Найдите сторону СD параллелограмма АВСD (рис. 12).
Ответ: 4 √2
3. Вычислите высоту СF трапеции АВСD? (рис. 13).
Ответ: √3
VI. Решение старинных задач
На заключительном этапе урока рассматриваем несколько старинных задач на применение теоремы Пифагора.
Задача 1 (из «Арифметики» Л.Ф.Магницкого).
Случися некоему человеку к стене лествицу прибрати, стены же тоя высота есть 117 стоп. И обрете лествицу долготою 125 стоп. И ведати хощет, колико стоп сея лестницы нижний конец от стены отстояти имать.
Решение. Треугольник АВС — прямоугольный (рис. 14). Пусть ВС = х стоп, тогда по теореме Пифагора АС2 + СВ2 = АВ2,
1172 + х2 = 1252;
Х2 = 1252 – 1172,
Х2 = (125 - 117)(125 + 117),
Х2 = 8 ·242,
х = 44.
23
О т в е т: 44 стопы.
Задача 2 (индийского математика ХII в. Бхаскары).
На берегу реки рос тополь одинокий.
Вдруг ветра порыв его ствол надломал.
Бедный тополь упал. И угол прямой
С теченьем реки его ствол составлял.
Запомни теперь, что в том месте река
В четыре лишь фута была широка.
Верхушка склонилась у края реки,
Осталось три фута всего от ствола.
Прошу тебя, скоро теперь мне скажи:
У тополя как велика высота?
Решение. Пусть АВ — высота тополя, тогда АВ=АС+СD (рис. 15). Найдем СD. Треугольник АСD — прямоугольный. По теореме Пифагора
СD2 = АС2 + АD2, СD2 = 32 + 42, откуда СD = 5 футов.
Значит, АВ = З + 5 = 8 футов.
24
Ответ: 8 футов.
Задача З (из древнеиндийского трактата).
Над озером тихим,
С полфута размером, высился лотоса цвет.
Он рос одиноко. И ветер порывом
Отнес его в сторону.
Нет, боле цветка над водой.
Нашел же рыбак его ранней весной
В двух футах от места, где рос.
Итак, предложу я вопрос:
Как озера вода здесь глубока?
Решение. Треугольник АВС — прямоугольный, АВ = АС + ½ (рис. 16). Тогда по теореме ПифагораАВ2 =АС2+СВ2, (АС + ½ )2 =АС2 + 22,
АС=З ¾ фута.
Ответ: З ¾ фута.
VII. Рефлексия.
Что нового узнали на уроке?
25
Список литературы.
1. Г.И. Глейзер, История математики в школе. 7 – 8 кл. – М.: Просвещение, 1982
2. П.А.Карасев, Задачи по геометрии – М., Просвещение, 1965
3. Л.М.Лоповок, Математика на досуге – М., Просвещение, 1981
4. А.С.Чесноков, Внеклассная работа по геометрии – М., Просвещение, 1974
5. Математика в школе, № 3, 1980
6. Математика в школе, № 6, 2001
7. Математика в школе, № 5, 1978
9. Математика школьника, № 1, 2006