Молекулярная физика и термодинамика (стр. 5 из 13)

Подставив числовые значения, получим

DU_1a2 = 14 × 10³ Дж; A_1a2 = 2 × 10³ Дж; Q_1a2 = 16 × 10³ Дж.

Во втором случае переход из состояния 1 в состояние 2 идет через промежуточное состояние b. Искомые величины могут быть найдены следующим образом:

А_1b2 = р₂(V₂ – V₁);

Q_1b2 = i (p₂V₂ – p₁V₁) / 2 + р₂(V₂ – V₁).

Подставив численные значения, получим

DU_1b2 = 14 × 10³ Дж; A_1b2 = 10 × 10³ Дж; Q_1b2 = 24 × 10³ Дж.

Cравнивая результаты в первом и втором случаях, замечаем, что

DU_1а2 = DU_1b2; A_1b2 > A_1a2; Q_1b2 > Q_1a2.

Пример 7. Найти КПД четырёхтактного двигателя внутреннего сгорания. Считать, что смесь воздуха с парами топлива и воздуха с продуктами сгорания с достаточной точностью ведёт себя как идеальный газ с показателем адиабаты g. Схема реального цикла показана на рисунке 2, а идеального – на рисунке 3.

Д а н о: g h- ?

Решение. В состоянии 1 в камере после сгорания сжатой смеси воздуха с топливом имеется газ под большим давлением р₁. Объём газа V_1.. Начинается рабочий цикл. При расширении газа по адиабате 1-2 совершается положительная работа. В состоянии 2 (нижняя мёртвая точка) расширение достигает максимума и поршень находится в крайнем положении. Объём V₂ равен сумме объёмов камеры сгорания и цилиндра. После открытия выпускного клапана давление в цилиндре падает до близкого к атмосферному. В реальном цикле выпускной клапан начинает открываться раньше достижения поршнем нижней мёртвой точки 2, поэтому переход 2-3 не строго изохорный. На участке 3-4 происходит выталкивание оставшихся в цилиндре продуктов сгорания. В верхней мёртвой точке 4 закрывается выпускной клапан и открывается впускной. На участке 4-5 происходит засасывание воздушно-топливной смеси (для карбюраторных двигателей) или воздуха (для дизельных двигателей). В точке 5 закрывается всасывающий клапан и на участке 5-6 происходит сжатие рабочей смеси. Совершается отрицательная работа. В точке 6 смесь воспламеняется, и давление в камере сжатия возрастает до р₁. В идеальном цикле считаем, что точки 5 и 3 совпадают, путь 3-4 совпадает с 4-5, и никакой работы в процессе 3-4-5 не совершается.

Работа в цикле в расчёте на моль вещества

,

где Т₁ и Т₆ – температуры газа в состояниях 1 и 6.

Так как g –1 = (С_рm – С_vm) / С_vm = R / С_vm , то

.

Энергия, затрачиваемая на увеличение температуры моля газа от Т₆ до Т₁,

Q = С_vm(T₁ – T₆).

КПД цикла

Отношение V₂ / V₁ называется степенью сжатия. Чем больше степень сжатия, тем КПД выше. Вычисляемый по полученной формуле КПД оказывается завышенным приблизительно вдвое по сравнению с действительным КПД в реальных двигателях внутреннего сгорания. Источниками расхождения являются значительные отклонения условий, принятых для идеального цикла, от условий функционирования реального цикла.

Пример 8. Идеальный газ, совершающий цикл Карно, произвёл работу А = 600 Дж. Температура Т₁ нагревателя равна 500 К, температура холодильника Т₂ = 300 К. Определить термический КПД цикла и количество теплоты, отданное холодильнику за один цикл.

Д а н о: А = 600 Дж Т₁= 500 К Т₂= 300 К h- ? Q₂ -?

Решение. Термический КПД цикла Карно

h = (Т₁ – Т₂)/Т₁ .

Количество теплоты, отданное холодильнику,

Q₂ = Q₁ – A,

где Q₁ = A / h – количество теплоты, полученной от нагревателя. Подставляя выражение для Q₁ в формулу для Q₂, получим

Q₂ = A(1/h – 1).

Вычисляя, находим: 1) h = 0,4; 2) Q₂ = 900 Дж.

Пример 9. Определить изменение энтропии DS при изотермическом расширении азота массой 10 г, если давление газа уменьшается от 100 до 50 кПа.

Д а н о: m = 10 г р₁ = 100 кПа р₂= 50 кПа DS - ?

Решение . Изменение энтропии, учитывая, что процесс изотермический,

(1)

Согласно 1-му закону термодинамики количество теплоты, полученное газом, Q = DU + A. Для изотермического процесса DU = 0, поэтому Q = A. Работа газа в изотермическом процессе

Подставив выражение для работы в формулу (1), найдём искомое изменение энтропии:

Вычисляя, получаем DS = 2,06 Дж/К.

Пример 10. Найти постоянные а и b Ван-дер-Ваальса для одного моля хлора, если известно, что критическая температура хлора Т_кр = = 417 К, а критическое давление р_кр = 7,6 МПа. Определить внутреннюю энергию газа, если при температуре Т = 273 К он занимает объем V₂ = 2 л.

Д а н о: Т_кр = 417 К р_кр = 7,6 МПа Т = 273 К V₂ = 2 л а – ? b – ? U – ?

Решение. Физическую систему составляет один моль реального газа, уравнение состояния которого можно записать в виде

где а и b – постоянные Ван-дер-Ваальса; V_m – объём одного моля.

Критические параметры определяются через постоянные а и b следующим образом:

Р_кр = а / (27 b²); Т_кр = 8а / (27Rb); V_кр = 3b.

Выражая а и b через критическую температуру и критическое давление, находим

Внутренняя энергия реального газа

,

где i = 5 – число степеней свободы; Т – температура газа.

Подставляя числовые значения, получаем: а = 0,667 Н × м⁴/моль;
b = 5,69×10^-5 м³/моль; U = 5,34 кДж.

Пример 11. Найти добавочное давление Dp внутри мыльного пузыря диаметром d = 10 см. Какую работу нужно совершить, чтобы выдуть этот пузырь?

Д а н о: d = 10 см Dp – ? А – ?

Решение. Плёнка мыльного пузыря имеет две сферические поверхности – внешнюю и внутреннюю. Обе поверхности оказывают давление на воздух, заключённый внутри пузыря. Так как толщина плёнки очень мала, то диаметры обеих поверхностей практически одинаковы. Поэтому добавочное давление

где R – радиус пузыря.

Так как R = d / 2, то Dp = 8a / d.

Работа, которую нужно совершить, чтобы, растягивая плёнку, увеличить площадь её поверхности на DS, выражается формулой

A = aDS = a(S – S₀).

В данном случае S – общая площадь двух сферических поверхностей пленки мыльного пузыря, S₀ – общая площадь двух поверхностей плоской плёнки, затягивающей отверстие трубки до выдувания пузыря.

Пренебрегая S₀, получаем

А = aS = 2pd²a .

Произведя вычисления, получим

Dр = 3,2 Па; А = 2,5 × 10^-3 Дж.

5 ЗАДАЧИ К КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЕ № 2

2.1 При нагревании идеального газа на DТ = 2 К при постоянном давлении объем его увеличился на 1/200 первоначального объема. Найти первоначальную температуру Т газа.

2.2 Баллон объемом V = 15 л содержит углекислый газ под давлением р = 1,5 МПа и температуре Т = 330 К. Определить массу m газа.

2.3 В цилиндр длиной l = 19 м , заполненный воздухом при нормальном атмосферном давлении р₀, начали медленно вдвигать поршень площадью S = 220 см². Определить силу F, которая будет действовать на поршень, если его остановить на расстоянии l₁ = 11 см от дна цилиндра.

2.4 Каков может быть наименьший V объем баллона, вмещающего m = = 8 кг кислорода, если его стенки при температуре t = 30 °С выдерживают давление р = 1,8 × 10⁶ Па.

2.5 Два сосуда одинакового объема содержат кислород. В одном сосуде давление р₁ = 220 кПа и температура Т₁ = 850 К, в другом – р₂ = = 280 кПа, а Т₂ = 210 К. Сосуды соединили и охладили находящийся в них кислород до Т = 180 К. Определить установившееся в сосудах давление p.

2.6 В баллоне вместимостью V = 18 л находится аргон под давлением
р₁ = 620 кПа и при температуре Т₁ = 315 К. Когда из баллона было взято некоторое количество газа, давление в баллоне понизилось до р₂ = 450 кПа, а температура установилась Т₂ = 280 К. Определить массу m аргона, взятого из баллона.