Удк 53(075) А. А. Марко, избранные вопросы кинематики (стр. 2 из 9)

Проекции вектора ускорения на координатные оси равны:

, (1.2.13)

модуль ускорения

. (1.2.14)

Если движение материальной точки плоское (будем считать, что траектория материальной точки лежит в плоскости

), то вектор ускорения всегда можно разложить на две взаимно перпендикулярные составляющие (рис. 4)

, (1.2.15)

где

– тангенциальное (касательное) и – нормальное (центростремительное) ускорения материальной точки.

Вектор всегда направлен к центру кривизны траектории О', а вектор лежит на касательной к траектории и может быть направлен как в сторону движения, так и в противоположную сторону.

Нормальное ускорение

характеризует быстроту изменения направления вектора скорости материальной точки. Тангенциальное ускорение
характеризует быстроту изменения величины скорости материальной точки.

Абсолютные значения нормального и тангенциального ускорений определяются соотношениями

, (1.2.16)

, (1.2.17)

где

модуль скорости материальной точки; — радиус кривизны траектории в данный момент времени.

Абсолютные значения величин ускорений связаны между собой соотношением

. (1.2.18)

1.3. Равномерное и равноускоренное движения

Равноускоренным движением тела называется движение, при котором его скорость за любые равные промежутки времени изменяется одинаково.

Если направление векторов

и совпадают, движение называется равноускоренным, если противоположны – равнозамедленным.

При прямолинейном движении координатная ось обычно совмещается с направлением движения. Тогда при движении с постоянным ускорением координата и скорость материальной точки, при этом изменяются по кинематическим формулам:

, (1.3.1)

. (1.3.2)

Путь, пройденный телом при равноускоренном движении:

, (1.3.3)

при равнозамедленном движении:

(1.3.4)

где

, – модуль начальной скорости и модуль ускорения соответственно; – путь пройденный телом до остановки; – путь, пройденный телом после остановки, при его движении в другую сторону.

Графическая иллюстрация соотношений (1.3.3) и (1.3.4) представлена на рисунках 5 и 6.

Движение тела с постоянным ускорением включает в себя равномерное и равноускоренное движение. При равномерном прямолинейном движении скорость тела не изменяется и в уравнениях (1.3.1), (1.3.2) и (1.3.3) нужно положить

.

При плоском криволинейном движении мгновенная скорость тела в любой точке направлена по касательной к траектории, при этом ее проекции на оси координат и координаты материальной точки меняются со временем:

(3.1.5)

Простейшими случаями криволинейного движения являются движение тела, брошенного под углом к горизонту, и движение тела с постоянной по величине скоростью по окружности (см. §1.4.)

Если тело начинает движение в поле силы тяжести Земли со скоростью

, составляющей угол с горизонтом, то его траектория будет криволинейной, лежащей в плоскости перпендикулярной к поверхности земли. Удобно выбрать прямоугольную систему координат
с осью , направленной горизонтально и осью , направленной вертикально (рис. 7). Движение представляет собой комбинацию равномерного движения в горизонтальном направлении и равнозамедленного и равноускоренного в вертикальном направлении с ускорением свободного падения .

Система начальных условий имеет вид:

. (1.3.6)

Проекции скорости на координатные оси c учетом (1.3.6) в любой момент времени

равны:

, (1.3.7)

. (1.3.8)

Из (1.3.7) и (1.3.8) получаем для модуля скорости

. (1.3.9)

Направление вектора скорости можно определить из соотношения

. (1.3.10)

Координаты тела в момент времени

равны:

, (1.3.11)

. (1.3.12)

Время полета до момента падения определяется из (1.3.12) при

:

. (1.3.13)

Время подъема до максимальной высоты определяется из (1.3.8) при

. (1.3.14)

Максимальная высота подъема определяется из (1.3.12) при

:

. (1.3.15)

Дальность полета получаем из (1.3.11) при

:

. (1.3.16)

Исключая из (1.3.11) и (1.3.12) получаем уравнение траектории:

. (1.3.17)

1.4. Равномерное движение по окружности

Движение по окружности – простейший пример криволинейного движения. Скорость

движения по окружности называется линейной скоростью. При равномерном движении по окружности модуль мгновенной скорости материальной точки с течением времени не изменяется ( на рис. 8).

Изменение положения точки на окружности может быть охарактеризовано изменением угловой координаты точки: . Угол называется углом поворота радиус-вектора точки (рис. 8).