Учебно-методическое пособие для студентов физико-математического факультета педвуза и школьных учителей физики. Елабуга: изд-во Елабужского гос пед ун-та, 2004- 43 с. Елабужский государственный педаго (стр. 4 из 11)
Барометрическая формула.
3.9. Определить высоту горы, если давление на ее вершине равно половине давления на уровне моря. Температуру считать всюду одинаковой и равной 0оС.
3.10. На какой глубине в шахте плотность воздуха увеличивается в 2 раза? Считать температуру воздуха в шахте постоянной и равной 0оС.
3.11. При подъеме вертолета на некоторую высоту барометр, находящийся в его кабине, изменил свое показание на 11 кПа. На какой высоте летит вертолет, если на взлетной площадке барометр показывал давление 100 кПа. Считать, что температура воздуха равна 290 К и не изменяется с высотой.
3.12. На сколько уменьшится атмосферное давление при подъеме наблюдателя над поверхностью Земли на высоту 100 м? Считать, что температура воздуха равна 290 К и не изменяется с высотой.
3.13. В опыте, посредством которого Перрен определил число Авогадро, использовалась взвесь шариков гуммигута (r=1254кг/м3) в воде. Температура взвеси равнялась 20оС. Радиус шариков 0,212 мкм. При перемещении тубуса микроскопа на Dh=30 мкм число шариков, наблюдавшихся в микроскоп, изменилось в 2,4 раза. Исходя из этих данных, найти число Авогадро NA.
3.14. Идеальный газ с молярной массой m находится в высоком вертикальном цилиндрическом сосуде, площадь основания которого S и высота h, его давление на нижнее основание ро. Считая, что температура и ускорение свободного падения g не зависит от высоты, найти массу газа в сосуде.
3.15. Самое высокое место, обжитое человеком на земном шаре, находится на высоте 5200 м над уровнем моря. Самая глубокая в мире шахта имеет глубину 104м. На сколько отличается давление воздуха в этих местах? При расчете принять массу моля воздуха 0,029 кг/моль, температуру 273 К. Предположение об изотермичности атмосферы является грубым приближением, поэтому полученный ответ следует рассматривать лишь как оценку искомой величины.
3.16. Оцените среднюю температуру атмосферы Земли, зная, что на высоте 230 км плотность воздуха равна 10-10 кг/м3.
3.17. По мере увеличения высоты h над уровнем моря (примерно до 10 км) температура воздуха изменяется по закону Т=То(1- аh), где а - постоянная величина. По какому закону меняется давление газа в зависимости от h? Давление воздуха на уровне моря равно ро.
ЯВЛЕНИЯ ПЕРЕНОСА В ГАЗАХ
4. Средняя длина свободного пробега.
Явления переноса в газах.
1. Средняя длина свободного пробега молекулы газа
= 
где
– средняя арифметическая скорость, 
– среднее число столкновений каждой молекулы с остальными в единицу времени, d - эффективный диаметр молекулы.2. Масса газа, перенесенная за время Dt при диффузии:
где Dr/Dx - градиент плотности в направлении, перпендикулярном к площадке S, D - коэффициент диффузии:
([D]=м2/с)3. Импульс, перенесенный газом за время Dt, определяет силу внутреннего трения Fтр в газе:
где
– градиент скорости течения газа в направлении, перпендикулярном к площадке DS, h - динамическая вязкость, или коэффициент вязкости: 
, h=r D; [h]=Н×с/м2=Па×с.4. Количество теплоты, перенесенное за время Dt вследствие теплопроводности, определяется формулой:
где DT/Dx - градиент температуры в направлении, перпендикулярном к площадке S, k - коэффициент теплопроводности:
; 
; 
; [ 
]=Дж/(м×с×К)=Вт/(м×К).Здесь сv=iR/(2m) - удельная теплоемкость при V=const.
Примеры решения задач.
Задача 1. Рассчитать среднюю длину свободного пробега молекул азота, коэффициент диффузии и вязкость при давлении 105Па и температуре 17оС. Как изменятся найденные величины в результате двукратного увеличения объема газа: а) при постоянном давлении: б) при постоянной температуре?
Дано: р=105 Па; Т=290К; m=28.10-3кг/моль; d=3,7.10-10 м, V2=2V1; а) р=соnst; б)Т=сonst .
Найти: `l - ? D - ? h - ?
Решение. Средняя длина свободного пробега определяется по формуле`l=
; а концентрацию молекул по заданным значениям давления и температуры находим из уравнения р=nkT, тогда`l =
; `l =9,52.10-8м.Для расчета коэффициента диффузии по формуле
можно воспользоваться полученным результатом, определив предварительно среднюю скорость: 
`u =470 м/c. Тогда D=1.10-5 м2/с.Для расчета h подставим в формулу
выражение для`l, а r найдем из уравнения Менделеева-Клапейрона: r =рm/(RT).Тогда
. h=1,7×10-5 Па.с.Как видно из выражения для `l, длина свободного пробега зависит только от концентрации молекул. При двукратном увеличении объема концентрация уменьшается вдвое. Следовательно, при любом процессе `l2/`l1 =n1/n2 =V2/V1 =2.
В выражении коэффициента диффузии входит не только длина свободного пробега, но и средняя скорость. Следовательно,
D2/D1=(`l2/`l1)(T2/T1)1/2 .
а) При р=const T2/T1= V2/V1 =2. Таким образом, D2/D1=2 Ö`2. б)При T=const D2/D1=(`l2/`l1) = 2.
Вязкость зависит только от скорости молекул, следовательно, и от температуры, т.е. h2/h1=(T2/T1)1/2. При р= const h2/h1=Ö`2. При постоянной температуре коэффициент h не изменяется.
Задача 2*. Два коаксиальных цилиндра длиной 10 см могут свободно вращаться вокруг их общей оси Х. Радиус большого цилиндра равен 5 см. Между цилиндрами имеется зазор размером 2 мм. Оба цилиндра находятся в воздухе при нормальных условиях. Внутренний цилиндр приводят во вращение с постоянной частотой 20c-1. Внешний цилиндр заторможен. Определить, через какой промежуток времени с момента освобождения внешнего цилиндра он приобретет частоту вращения 1 с-1. При расчетах изменением относительной скорости цилиндров пренебречь. Масса внешнего цилиндра равна 100 г.
Дано: l=0.1 м, R=0,05 м, d=2.10-3 мм, р=105Па, Т=273К,
n1=20c-1, n2=1 c-1,m=0,1кг.
Найти: Dt - ?
Решение. При вращении внутреннего цилиндра слой воздуха увлекается им и начинает участвовать во вращательном движении. Вблизи поверхности этого цилиндра слой воздуха приобретает со временем практически такую же линейную скорость, как и скорость точек на поверхности цилиндра, т.е. u=2pn1(R-d). Так как d <<R, то приближенно можно считать:
u » 2pn1R. (1)
Вследствие внутреннего трения момент импульса передается соседним слоям газа и в конечном счете внешнему цилиндру. За интервал времени Dt внешний цилиндр приобретает момент импульса L=РR, где Р - импульс, полученный за Dt внешним цилиндром. Отсюда:
Р= L/R. (2)
С другой стороны, Р=h(Du/Dx) DS Dt, (3)
где h - коэффициент вязкости, Dv/Dx - градиент скорости, DS - площадь поверхности цилиндра (DS=2pRl).
Приравняв правые части выражений (2) и (3), найдем Dt:
Dt=L/[hR(Du/Dx) DS]. (4)
Найдем L и Du/Dx. Момент импульса L=Jw2, где J- момент инерции цилиндра (J=mR2), m- его масса, w2- угловая скорость внешнего цилиндра (w2=2pn2). С учетом этого L= mR2.2pn2=2p mR2n2. Градиент скорости
Du/Dx= u/x = u/d. Подставив в (4) выражения L, Du/Dx и DS, получим Dt=mdn2/(hul). Заменив здесь v по (1), найдем Dt=mdn2/(2phRln1) .
Динамическая вязкость воздуха при н. у. h=1,72.10-5 Па.с. Dt=18,5 с.
Задачи.
Средняя длина свободного пробега.
4.1. Найти среднюю длину свободного пробега молекул углекислого газа при температуре 100оС и давлении 13,3 Па. Диаметр молекул углекислого газа 0,32 нм.
4.2. При помощи ионизационного манометра, установленного на искусственном спутнике, было установлено, что на высоте 300 км от поверхности Земли концентрация частиц газа в атмосфере 1015 м-3. Найти среднюю длину свободного пробега частиц газа на этой высоте. Диаметр частиц газа 0,2 нм.