Методические рекомендации к выполнению курсовых работ по курсу «Сопротивление материалов» (стр. 8 из 11)
При вычислении изгибающего момента в сечении принимают его положительное направление (вращение по часовой или против часовой стрелки) и отмечают растянутое волокно (сверху или снизу горизонтальных или наклонных стержней и слева или справа вертикальных стержней) (рис. 3.2). Изгибающий момент в сечении равен сумме моментов внешних сил, действующих на рассматриваемую часть рамы, относительно точки в сечении на оси стержня. Знак плюс (+) для нагрузок, вращающих рассматриваемую часть рамы относительно сечения в направлении противоположном принятому для изгибающего момента в сечении, минус (-) - при вращении в направлении изгибающего момента.
или 
.Стрелками показаны положительные направления вращения изгибающего момента в сечении и внешних сил относительно сечения.
После вычисления значения изгибающего момента в сечении его откладывают со стороны растянутого волокна, т.е. со стороны, отмеченной при назначении направления изгибающего момента при положительном значении вычисленного момента и с противоположной при отрицательном значении.
Характерные особенности эпюр внутренних усилий в рамах и контроль за правильностью их построения.
Нормальные силы на участках рамы, при отсутствии продольных распределенных нагрузок, постоянны.
Для контроля за правильностью вычисления и построению эпюр поперечных сил и изгибающих моментов используют дифференциальные соотношения Журавского:
; 
. (3.3)Так как производная от любой функции равна тангенсу угла наклона касательной к графику функции, то из формул (3.3) следует:
а) если на участке стержня отсутствует распределенная поперечная нагрузка (q = 0), то на этом участке кривая поперечной силы имеет нулевой уклон касательной, следовательно, поперечная сила постоянна (Qy = const), а изгибающий момент имеет постоянный наклон касательной и, следовательно, график изгибающего момента – прямая линия, функция линейная;
б) если на участке балки действует равномерно распределенная нагрузка (q = const), то Qy – линейная функция (прямая линяя), а функция изгибающего момента – квадратная парабола;
в) если поперечная сила равна нулю (Qy = 0) в точке, то функция изгибающего момента в этой точке достигает экстремального значения -
;Для вычисления точек экстремального значения изгибающего момента необходимо определить координату точки, где значение поперечной силы равно нулю. Для этого необходимо записать выра
жение поперечной силы в произвольном сечении участка и найти значение координаты, приравняв это выражение нулю. Для участка с равномерно распределенной нагрузкой, где эпюра поперечных сил линейна, можно получить формулу координаты из подобия треугольников эпюры Qу на участке (поперечная сила меняет на участке знак) (рис. 3.3)
; (3.4)Как отмечалось выше, при отсутствии экстремальных точек на участках с распределенной нагрузкой эпюры изгибающих моментов можно построить либо с учетом дифференциального соотношения Журавского (3.3), либо вычислив дополнительно значение изгибающего момента в середине участка. Значение момента в середине участка можно определять по формуле
. (3.5)В формуле (3.5) знак (+) для моментов берется, если моменты одного знака (отложены с одной стороны), знак (+) или (-) для нагрузки принимается так, чтобы выпуклость на эпюре моментов была направлена в сторону действия нагрузки.
г) если на участке поперечная сила равна нулю – изгибающий момент на участке постоянный.
Эпюра поперечных сил имеет разрывы в точках приложения сосредоточенных поперечных нагрузок, а эпюра изгибающих моментов в точках действия внешних сосредоточенных моментов, действующих в плоскости рамы, на величину этих нагрузок.
Любая часть рамы, вырезанная из конструкции, должна находится в равновесии под действием внешних нагрузок, действующих на рассматриваемую часть рамы, и внутренних усилий в сечениях, отсекающих часть конструкции. Этот способ используется для контроля правильности проведенных расчетов и построения эпюр внутренних усилий.
В частности, всегда проводится контроль равновесия узлов рамы.
3.1. Порядок расчета рамы
1. Определяются опорные реакции.
Простые статически определимые рамы, состоящие из жестко соединенных стержней, имеют три опорных стержня, не пересекающихся в одной точке – трехопорная рама, или одну опору с жестким защемлением - консольная рама. В трехопорной раме опорные реакции действуют вдоль опорных стержней. В консольной раме в защемлении действуют две взаимно перпендикулярные реакции и опорный момент. Направление опорных реакций (вправо, влево от сечения опорного стержня) и опорного момента выбирается произвольно.
Для трехопорной рамы для определения опорных реакций используют уравнения моментов. Чтобы опорные реакции определялись независимо, в качестве моментных точек берут точки, где пересекаются направления двух опорных стержней (направления двух реакций). Если направления двух опорных стержней параллельны (стержни не пересекаются), то для определения третьей реакции, непараллельной им, используется уравнение проекций на ось, перпендикулярную параллельным опорным стержням.
Для определения опорных реакций консольной рамы используются уравнения проекций на взаимно перпендикулярные оси х, у и уравнение момента относительно опоры (защемления) для определения опорного момента.
Если в результате расчета реакции получаются со знаком плюс, направления реакции совпадает с принятым. При отрицательном знаке реакции, ее направление противоположно принятому.
2. Нумеруются характерные сечения рамы.
Характерными сечениями являются узлы рамы, а также точки приложения внешних сосредоточенных сил и моментов, точки начала и конца распределенных нагрузок. Порядок нумерации точек произвольный.
3. Вычисляются значения нормальных N и поперечных сил Q сил и изгибающих моментов Мzв сечениях вокруг опорных точек.
При отсутствии распределенных продольных нагрузок вдоль стержней рамы нормальные силы на участках стержней постоянны и могут вычисляться по участкам (N = Nij, i, j – номера концов участка), т.е. без вычисления их значений в сечениях вокруг каждой характерной точки.
Для построения эпюры изгибающих моментов на участках с распределенной нагрузкой, кроме значений в на концах участков, вычисляют экстремальные значения моментах в точках с нулевым значением поперечных сил на участках (если таковые имеются), или значения моментов в серединах участков, или строят эпюры, согласуясь с эпюрой поперечных сил в соответствии с дифференциальным соотношением Журавского (3.3).
4. Проводится контроль равновесия узлов.
Для узлов рамы проводится два вида контроля:
а) выполнение условий равновесия на действие нормальных и поперечных сил;
б) выполнение условий равновесия на действие изгибающих моментов.
Для проверки условий равновесия узел вырезается вместе с приложенными в них внешними сосредоточенными нагрузками.
При проверке выполнения условий равновесия узла на действие нормальных и поперечных сил вычерчивается узел и к нему прикладываются действующие сосредоточенные силы и нормальные и поперечные усилия положительного направления – нормальные силы направлены от сечения (в направлении оси стержня), поперечные силы перпендикулярно осям стержней так, чтобы они вращали узел по часовой стрелке. Выписываются значения нормальных и поперечных сил с учетом знака (значение и знак усилия берутся из эпюр нормальных или поперечных сил соответственно. Составляются условия равновесия узла (рис.3.4,а):
; 
;где
- суммы проекций всех сил действующих в узле (внешних и внутренних) на взаимно перпендикулярные оси х и у (направление осей произвольно).При проверке выполнения условий равновесия узла на действие моментов вычерчивается узел и к каждому стержню прикладываются действующие изгибающие моменты (рис. 3.4,б). Направление действия момента принимается так, чтобы он растягивал волокно стержня соответственно эпюре изгибающих моментов. Направление моментов на рис 3.4,б условно принято: на правом и левом стержнях растянуто нижнее волокно, на верхнем и нижнем стержнях растянуто волокно слева от оси стержня. К узлу прикладывается также внешний момент, если он имеется в узле рамы, условие выполнения равновесия которого проверяется. Выполняют проверку выполнения равновесие узла
. 
На рис. 3.4 индексы - Л, П, В, Н при внутренних усилий обозначают, что сечение проведено в стержнях слева, справа, выше или ниже от характерной точки (узла). При наличии наклонных стержней можно использовать двойную индексацию – ЛВ, ПН и т.д.