Методические рекомендации к выполнению курсовых работ по курсу «Сопротивление материалов» (стр. 1 из 11)
В.Н. Иванов
Методические рекомендации
к выполнению курсовых работ
по курсу
«Сопротивление материалов»
«Статически неопределимые стержни»
«Геометрические характеристики сечений»
«Расчет трехопорной рамы»
Москва
Издательство Российского университета дружбы народов
2003
В.Н. Иванов
Методические рекомендации
к выполнению курсовых работ
по курсу
«Сопротивление материалов»
«Статически неопределимые стержни»
«Геометрические характеристики сечений»
«Расчет трехопорной рамы»
Москва
Издательство Российского университета дружбы народов
2003
Утверждено
РИС Ученого Совета
Российского университета дружбы народов
Иванов В.Н. Методические рекомендации к выполнению курсовых работ по курсу «Сопротивление материалов»: «Статически неопределимые стержни», «Геометрические характеристики сечений», «Расчет трехопорной рамы». –М.: Изд-во РУДН, 2003, 65 с.
Предназначены для студентов II-го курса по специальности «Строительство» при выполнении курсовых работ и самостоятельных занятиях при изучении 1-ой части сопротивления материалов по темам: центральное растяжение (сжатие) прямых стержней, геометрические характеристики сечений, определение внутренних усилий в рамах. В рекомендациях даны краткие теоретические основы изучаемых разделов курса сопротивления материалов, необходимые при решении задач и выполнении курсовых работ.
Могут быть использованы студентами других специальностей, при изучении соответствующих разделов курса «сопротивление материалов».
Подготовлено на кафедре сопротивления материалов РУДН.
© Издательство Российского университета дружбы народов, 2003 г.
© В.Н.Иванов, 2003 г.
Введение
Изучение сопротивления материалов требует решения конкретных задач, что позволяет глубже понять теоретические основы дисциплины. В настоящей работе рассмотрены типовые задачи по следующим разделам курса сопротивления материалов:
1. Расчет статически неопределимых стержней, работающих на растяжение (сжатие).
2. Определение геометрических характеристик сечений.
3. Расчет трехопорных рам. Построение эпюр нормальных сил Nx, поперечных сил Qy и изгибающих моментов Mz.
По перечисленным темам студенты выполняют курсовые работы. Кроме примеров выполнения курсовых работ в методических рекомендациях, даны решения и некоторых других задач по излагаемым темам. Каждый раздел предваряется краткими сведениями из теории, необходимыми при решении рассматриваемых задач.
1. Расчет статически неопределимых стержней
и стержневых систем, испытывающих растяжение
Статически неопределимыми системами называются системы, для которых реакции связей и внутренние усилия не могут быть определены при использовании только уравнений статики (уравнений равновесия).
Степенью статической неопределимости стержневой системы называется число лишних неизвестных, определяемых по формуле
Л = Н – У , (1.1)
где Н – общее число неизвестных реакций связей и внутренних усилий; У – число независимых уравнений статики, которое может быть составлено для данной стержневой системы; Л – число лишних неизвестных – степень статической неопределимости.
В зависимости от типа стержневой системы, типов входящих в нее стержневых элементов и видов их соединений, формула (1.1) может конкретизироваться.
Для определения неизвестных в статически неопределимых системах к уравнениям статики добавляются уравнения деформаций системы. Порядок решения статически неопределимых систем следующий:
1. Заданную систему превращают в основную систему.
Основной системой называется статически определимая и геометрически неизменяемая система, получаемая из заданной путем отбрасывания лишних связей и замены их неизвестными силами. Для статически неопределимой системы можно построить бесконечное число основных систем.
2. Составляют уравнения неразрывности деформаций – условия соответствия перемещений в основной системе в местах отброшенных связей перемещениям в тех же точках заданной системы.
3. Решая систему уравнений неразрывности деформаций, определяют неизвестные усилия, заменяющие действие отброшенных связей.
4. Проводят полный расчет основной системы - определяют необходимые усилия и перемещения в основной системе от действия заданной нагрузки и найденных неизвестных реакций связей.
Усилия и перемещения, определенные таким образом в точках основной системы будут равны усилиям и перемещениям в соответствующих точках заданной системы.
Сложные статически неопределимые системы, в том числе статически неопределимые фермы (элементы ферм работают на растяжение, сжатие) и статически неопределимые рамы, рассматриваются в курсе строительной механики стержневых систем. В курсе сопротивления материалов рассматриваются обычно простейшие статически неопределимые системы, к которым относятся:
а) прямые стержни постоянного, кусочно-постоянного и переменного сечений, закрепленные с двух сторон, от нагрузки действующей вдоль оси стержня;
б) системы шарнирно соединяемых стержней с возможным включением жестких недеформируемых элементов.
1.1. Статически неопределимый стержень
кусочно-постоянного сечения
Рассмотрим стержень кусочно-постоянного сечения, закрепленный с двух концов, под действием продольных сосредоточенных сил Fk и собственного веса - g (рис. 1.1).
Требуется: определить реакции в закреплениях, внутренние нормальные силы и напряжения в характерных сечениях, построить эпюры нормальных сил и напряжений вдоль оси стержня, определить перемещение в сечении I–I (рис. 1.1).
На концах стержня А и В, в закреплениях возникают реакции RA и RВ. Следовательно, общее число неизвестных - Н = 2. Для системы сил действующих вдоль одной прямой линии можно составить только одно уравнение равновесие - У -= 1.
Следовательно
Л = Н – У = 2 – 1 = 1.
Таким образом, прямой стержень, закрепленный с двух концов, при силах, действующих на него вдоль его оси, является один раз статически неопределимым.
Основную систему получим, отбросив закрепление нижней опоры в сечении В и заменив действие опоры неизвестной реакцией RB. Условием эквивалентности основной и заданной систем является равенство нулю перемещения точки В, так как в заданной системе эта точка закреплена.
На рис. 1.2 показаны заданная и основная системы и процесс деформирования основной системы от действия заданной нагрузки (сосредоточенных сил F1 и F2 и собственного веса стержня G) и неизвестной реакции RВ. Знак равенства для последовательных схем стержня указывает на эквивалентность напряженно деформированного состояния заданной и основной систем.
Условие неразрывности деформаций – равенство нулю перемещения на опоре В для основной системы, на основе принципа независимости действия сил, запишется в виде
, (1.2)где
- перемещение точки В от действия внешних продольных сил F1 и F2 и собственного веса стержня g ; 
- перемещение сечения В от действия неизвестной реакции RВ.Для определения внутренних усилий и перемещений в стержне его разбивают на участки. Границами участков являются сечения стержня, где приложены сосредоточенные внешние силы или меняется площадь поперечного сечения стержня. Рассматриваемый стержень состоит из четырех участков. Пронумеруем граничные сечения стержня, присвоив точке В нулевой номер. В этом случае номера участка будет совпадать с номером верхнего сечения участка стержня. Очевидно, в основной системе перемещение верхнего сечения стержня в точке А равно нулю, так как он закреплен. Тогда перемещение точки В равно сумме удлинений участков стержня
, (1.3)где
- удлинение k-го участка.Для стержня с закрепленным верхнем концом (точка А) каждый участок стержня растягивается силой
, равной сумме продольных внешних сил, приложенных не выше нижнего конца рассматриваемого участка стержня, и веса нижележащих участков стержня, а также собственным весом участка стержня
, (1.4,a)или
. (1.4,б)