Линейная алгебра, аналитическая геометрия, начала математического анализа. Учебно-методическое пособие по специальным разделам высшей математики Самара 2005 (стр. 3 из 11)

Задача 13.

Записать уравнение прямой, проходящей через точки

Решение. Уравнение прямой, проходящей через две точки

имеет вид

Подставляя координаты точек А и В, получим

Задача 14.

Написать уравнение прямой, проходящей через точку

, перпендикулярно плоскости

Решение. Так как прямая перпендикулярна плоскости, то в качестве направляющего вектора

прямой можно взять нормальный вектор плоскости.

Тогда

Поскольку уравнение прямой, проходящей через точку

с направляющим вектором , имеет вид

получим

Задача 15.

Определить, при каких

и параллельны прямые

и

Решение. Условие параллельности двух прямых – это условие коллинеарности их направляющих векторов

и

Подставляя координаты

и получим

Тогда

Задача 16.

Составить уравнение плоскости, проходящей через точки

Решение. Уравнение плоскости, проходящей через три точки

имеет вид

Вычисляем определитель

и получаем уравнение плоскости

Задача 17.

Определить, при каком А прямая

параллельна плоскости

Решение. Условие параллельности прямой и плоскости – это условие ортогональности направляющего вектора

прямой и нормального вектора плоскости:

Применяя эту формулу для

и получим

то есть

Задача 18.

Найти точку пересечения прямой

и плоскости

Решение. Перейдем к параметрическим уравнениям прямой

откуда

Найдем значение t, соответствующее точке пересечения прямой и плоскости, для чего подставим полученные выражения в уравнение плоскости

Подставляя

в параметрические уравнения прямой, найдем координаты точки пересечения прямой и плоскости

Задача 19.

Найти канонические уравнения прямой пересечения двух плоскостей

Решение. Уравнение прямой пересечения двух плоскостей получим, решив совместно систему уравнений методом Гаусса.

Составим расширенную матрицу системы уравнений

~

Возьмем у в качестве базисной переменной и исключим у из 2-го уравнения, для чего умножим 1-е уравнение на (-3) и сложим со вторым уравнением. Получим

~

Разделим 2-е уравнение на (-4)