Линейная алгебра, аналитическая геометрия, начала математического анализа. Учебно-методическое пособие по специальным разделам высшей математики Самара 2005 (стр. 5 из 11)
Тогда
Задача 30.
Вычислить
Решение.
Это неопределенность
. Раскрываем её с помощью второго замечательного предела 
В данном случае
Поэтому 
Задача 31.
Вычислить
Решение. При
имеем неопределенность 
.Преобразуем выражение, используя свойства логарифмов:
Так как
, 
, имеем неопределенность 
, которую раскрываем по правилу Лопиталя: 
Тогда
Так как
получили неопределенность 
Её можно раскрыть, ещё раз применив правило Лопиталя, но проще использовать таблицу эквивалентных бесконечно малых:при
~х, 
~х.Тогда
Задача 32.
Найти 
Решение.
Применяя формулы дифференцирования произведения и частного
получим
Подставим в производную
Замечание. Здесь и далее используются формулы дифференцирования, приведенные в конце пособия.Задача 33.
. Найти 
Решение.
Применим правило дифференцирования сложной функции: если
то 
В данном случае
поэтому
Тогда
Задача 34.
Вычислить Решение. Это показательно-степенная функция. Преобразуем её в показательную, используя свойства логарифмов:
Получившуюся функцию дифференцируем как сложную
Тогда
Задача 35.
Вычислить 
в точке 
Решение. Преобразуем данную функцию
Вычислим частную производную
, считая у константой: 
Найдем
, считая х константой: 
Подставим вместо х и у координаты точки
Тогда
Задача 36.
Найти
, если 
Решение.
Функция
задана в неявном виде – уравнением 
Воспользуемся формулой дифференцирования неявно заданной функции: 
Так как
то
Задача 37.
, где 
Найти 
при 
Решение. Согласно формуле дифференцирования сложной функции
где 
имеем
Так как
то 
Тогда
Задача 38.
Найти
, если 
Решение.
Функция
задана параметрически – уравнениями 
.В этом случае можно воспользоваться формулой
Так как
то
Задача 39.
Найти асимптоты кривой
Решение.
Асимптоты бывают вертикальные и наклонные.
Прямая
является вертикальной асимптотой кривой 
если 
Прямая
является наклонной асимптотой кривой если существуют конечные пределы 
Так как знаменатель дроби
никогда не обращается в 0 (D=-3<0), значит, не существует точек, обращающих саму дробь в бесконечность, и вертикальных асимптот нет.Ищем наклонные асимптоты:
