Учебно-методическое пособие Горки: Белорусская государственная сельскохозяйственная академия, 2007. 116 с (стр. 2 из 21)

р₁ = р_ат + r_вg(h+h_х).

В левой трубке давление на плоскости 0 – 0 создается давлением газа р в баллоне А и весовым давлением воды и ртути. Для выражения давления через указанные величины вводится еще один параметр Dh, представляющий разность уровней воды в чашках прибора (см. рис.1.2). Тогда

р₂ = р + r_вg(h_х+Dh) + r_ртgh.

Приравниваются правые части записанных выше уравнений, получим

р_ат + r_вg(h+h_x) = р + r_вg(h_x+Dh) + r_ртgh,

откуда

р = р_ат – (r_рт–r_в)gh – r_вgDh.

Из последнего уравнения следует, что использование закона равновесия несжимаемой жидкости недостаточно для решения задачи, так как в нем не известны две величины, т.е. р и Dh. Для определения величины Dh применим уравнение постоянства объема жидкости в системе. Тогда

.

Подставив полученное выражение Dh в расчетное уравнение, получим

Поскольку р = 75,2 кПа < р_ат = 100 кПа, то давление в баллоне А будет вакуумметрическое, величина которого

р_вак = р_ат – р = 100 – 75,2 = 24,8 кПа.

Ответ: р = 75,2 кПа.

Более полно решение задач по этой теме приводится в литературе [3, c.19–25; 4, с.12–16].

1.2. Относительный покой (равновесие) жидкости

Здесь рассматриваются случаи относительного покоя жидкости, находящейся в сосуде, при движении в горизонтальном и вертикальном направлениях с постоянным ускорением ± а и вращении цилиндрического сосуда вокруг вертикальной оси с постоянной угловой скоростью w_о. Уравнения свободной поверхности при р=р_ат и начале координат, как показано на рис. 1.3, соответственно имеют следующий вид:

; (1.6)

Z_cв – Z₀ = h¢ = 0; (1.7)

Z_cв – Z₀ = h¢ = w₀²r²/(2g), (1.8)

где Z_cв – текущая координата поверхности жидкости в сосуде;

Z₀ – начальная глубина жидкости в сосуде для первых двух случаев или координата параболоида вращения.

Свободная поверхность жидкости для указанных выше случаев представляет собой соответственно наклонную к оси х под углом

и горизонтальную плоскости, а также параболоид вращения. Для случая вращения жидкости в цилиндрическом сосуде из равенства объемов (см. рис.1.3, в) следует, что W_АВСD = W_ABEF – W_EOF, откуда легко выражается зависимость

h_пов = h_пон = 0,5h¢₀, (1.9)

где h_пов – повышение уровня жидкости у стенки сосуда над первоначальным уровнем;

h_пон – понижение уровня жидкости по оси сосуда под первоначальный уровень (см. рис. 1.3);

h¢₀ – высота параболоида вращения, соответствующая радиусу сосуда r₀.

Для первого и третьего случаев (см. рис. 1.3, а) давление в точке рассматриваемого объема жидкости определяется по уравнению (1.3), т.е. распределяется по гидростатическому закону, а глубину погружения точки под свободную поверхность жидкости рекомендуется определять по зависимости

h = Z₀ – Z ± h¢. (1.10)

Для случая вращения жидкости в цилиндрическом сосуде величина h¢ принимается всегда с положительным знаком. При вертикальном перемещении сосуда (рис. 1.3, б) с жидкостью с постоянным ускорением ± а давление в точке рассматриваемого объема определяется по уравнению

Рис. 1.3. Относительный покой жидкости: a – горизонтальное перемещение

сосуда с жидкостью; б – вертикальное перемещение сосуда с жидкостью;

в – вращение сосуда с жидкостью относительно вертикальной оси.

р = р₀ + r(g ± a)×h, (1.11)

где знак вертикального ускорения зависит от его направления.

Общую методику решения задач по данной теме рассмотрим на примерах.

Пример 1.3. В цилиндрическую форму (рис.1.4) с внутренним диаметром D = 1120 мм и высотой l = 1000 мм залит цементный раствор для изготовления трубы центробежным способом. При толщине стенок цементной трубы у нижней и верхней грани соответственно d₁ = 60 мм и d₂ = 58 мм. Определить необходимую частоту вращения цилиндрической формы.

Рис. 1.4. Расчетная схема.

Решение. Определяется по (1.8) высота параболоида вращения h^¢₁ и h^¢₂ соответственно при r₁ = D/2 – d₁ = 1,12/2 – 0,06 = 0,500 м и r₂ = D/2––d₁ = 1,12/2 – 0,058 = 0,502 м:

h^¢₁=

; h^¢₂= .

Из рис. 1.4 видно, что h^¢₂ – h^¢₁ = l =

– (r₂²–r₁²).

Откуда определяется угловая скорость вращения цилиндрической формы:

Тогда частота вращения цилиндрической формы составит:

мин^–1.

Следует отметить, что при уменьшении частоты вращения цилиндрической формы толщина стенки d₂ цементной трубы будет уменьшаться, что является не всегда приемлемым.

Ответ: n = 15,76 с^–1 = 945,3 мин^–1.

Более полно решение задач по этой теме приводится в литературе [4, c.16, 17].

1.3. Сила давления покоящейся жидкости

на плоские поверхности

Результирующая сила давления и точка ее приложения на плоские поверхности могут быть определены аналитическим и графоаналитическим способами.

А н а л и т и ч е с к и й с п о с о б . Результирующая сила давления, воспринимаемая плоской поверхностью, если она подвергается одностороннему давлению жидкости (на несмоченной стороне поверхности– атмосферное давление), определяется по формуле [1, c. 44]

F = р_{м (ц.т)}×w = rgh_м(ц.т) w, (1.12)

где р_{м (ц.т)} – манометрическое давление в центре тяжести плоской поверхности;

w – смоченная площадь плоской поверхности;

h_м(_ц.т) – расстояние по вертикали от центра тяжести площади w до пьезометрической плоскости нулевого избыточного давления 0 – 0.

При избыточном давлении р_и на свободной поверхности (рис. 1.5,а)

h_м(ц.т)=

_т . (1.13)

При вакуумметрическом давлении р_вак (рис. 1.5, б)

h_м(ц.т)=h_ц.т –

. (1.14)

Рис. 1.5. К расчету силы давления на плоскую поверхность.

При атмосферном давлении р_и = 0 на свободной поверхности (рис. 1.5, в)

h_м(ц.т) = h_ц.т, (1.15)

где h_ц.т – расстояние по вертикали от центра тяжести площади w до свободной поверхности.

Точка приложения результирующей силы давления (центр давления) для плоской поверхности АВ (см. рис. 1.5), симметричной относительно вертикальной оси, определяется по формулам [1, c. 45]

; (1.16)

, (1.17)

где

– расстояние от плоскости 0–0 (рис. 1.5,а, б) до центра давления;

– то же (считая по наклону плоской поверхности) до центра тяжести и для вертикальной плоскости l_м(ц.т) = h_{м (ц.т)};

I_x – момент инерции смоченной площади относительно произвольной оси, параллельной центральной;

I_o – момент инерции смоченной площади относительно оси, проходящей через центр тяжести 0 (см. рис. 1.5) параллельно линии уреза жидкости.

Из формулы (1.17) видно, что центр давления расположен всегда ниже центра тяжести на величину е = J_o/(

.

Для частных случаев, приведенных на рис. 1.6 , значения площадей плоских поверхностей w, расстояние от верха плоской поверхности до центра тяжести l_м(ц.т) и центральный момент инерции плоской поверхности J_o с учетом угла наклона поверхности a определяются следующими выражениями:

1. Прямоугольник: w = а× в;

= а / 2; J_o = ва³/12;

2а. Равнобедренный треугольник: w = а× в/2; l_ц.т= а/3; J_o=ва³/36;

2б. w = а× в/2; l_ц.т = 2а/3; J_o=ва³/36;

3а. Равнобедренная трапеция:

w = (в + с)×а/2;

; ;