Указания по выполнению задания 1
Система счисления – это совокупность приемов и правил наименования и обозначения чисел, позволяющих установить взаимно однозначное соответствие между любым числом и его представлением в виде конечного числа символов. Основанием системы счисления называется количество символов, с помощью которых изображается число в данной системе счисления.
Все системы счисления можно разделить на позиционные и непозиционные.
Непозиционные системы счисления – система, в которой символы, обозначающие то или иное количество, не меняют своего значения в зависимости от своего местоположения (позиции) в изображении числа.
Запись числа А в непозиционной системе счисления D может быть представлена выражением:
N
AD = D1 + D2 + … + DN = S Di ,
i=1
где AD – запись числа А в системе счисления D; Di – символы системы.
Непозиционной системой счисления является самая простая система с одним символом (палочкой). Для изображения какого-либо числа в этой системе надо записать количество палочек, равное данному числу. Например, запись числа 12 в такой системе счисления будет иметь вид: 111111111111, где каждая «палочка» обозначена символом 1. Эта система не эффективна, так как форма записи очень громоздка.
В общем случае непозиционные системы счисления характеризуются сложными способами записи чисел и правилами выполнения арифметических операций. В настоящее время все наиболее распространенные системы счисления относятся к разряду позиционных.
Позиционной системой счисления называют систему счисления, в которой значения цифры определяется ее местоположением (позицией) в изображении числа.
Упорядоченный набор символов (цифр) {a0, a1, …, an}, используемый для представления любых чисел в заданной позиционной системе счисления, называют ее алфавитом, число символов (цифр) алфавита p = n + 1 - ее основанием, а саму систему счисления называют p-ичной. Основание позиционной системы счисления – количество различных цифр, используемых для изображения чисел в данной системе счисления.
При работе с компьютерами приходится параллельно использовать несколько позиционных систем счисления (чаще всего двоичную, восьмеричную и шестнадцатеричную). Большое практическое значение имеют процедуры перевода чисел из одной системы счисления в другую.
Арифметические действия над числами в любой позиционной системе счисления производятся по тем же правилам, что и в десятичной системе.
При переводе чисел из одной системы счисления в другую следует придерживаться следующих правил:
1. Перевод чисел в двоичную систему счисления
1.1. Из восьмеричной системы счисления:
Нужно каждую цифру восьмеричного числа записать триадой (тройкой) цифр двоичной системы счисления.
Например: 2748 = 010 111 1002.
Десятичный индекс внизу числа указывает основание системы счисления.
1.2. Из десятичной системы счисления:
Нужно делить число нацело на 2, пока последнее полученное неполное частное не станет равным нулю, и переписать остатки в обратном порядке.
Например: 81 : 2 = 40 (1)
40 : 2 = 20 (0)
20 : 2 = 10 (0)
10 : 2 = 5 (0)
5 : 2 = 2 (1)
2 : 2 = 1 (0)
1 : 2 = 0 (1)
Ответ: 8110 = 10100012.
Для перевода дробной части (или числа, у которого «0» целых) умножаем ее на 2, целая часть произведения – первая цифра числа в двоичной системе; затем, отбрасывая у результата целую часть, вновь умножаем на 2 и т.д. Следует заметить, что конечная десятичная дробь при этом вполне может стать бесконечной (периодической) двоичной. Например: 0,73 × 2 = 1,46 (целая часть 1);
0,46 × 2 = 0,92 (целая часть 0);
0,92 × 2 = 1,84 (целая часть 1);
0,84 × 2 = 1,68 (целая часть 1) и т.д.; в итоге
0,73 10 = 0,1011…2.
1.3. Из шестнадцатеричной системы счисления:
Нужно каждую цифру шестнадцатеричного числа записать тетрадой (четверкой) чисел двоичной системы счисления.
Например: 9C516 = 1001 1100 01012.
2. Перевод чисел в восьмеричную систему счисления
2.1. Из двоичной системы счисления:
Нужно разбить число влево и вправо от запятой на триады цифр и каждую из них представить восьмеричным числом.
Например: 110111, 1012 = 110 111 , 1012 = 67,58.
2.2. Из десятичной системы счисления:
Нужно делить число нацело на 8, пока последнее полученное неполное частное не станет равным нулю, и переписать остатки в обратном порядке.