Приведем правую часть равенства к общему знаменателю
Найдем А, В, С, D. Согласно методу частных значений
(см. задачу 14) полагаем
Так, для х получим равенство
Итак,
Вычисляем интеграл
Задача 16. Вычислить
Решение. Воспользуемся формулой (27) вычисления криволинейного интеграла I рода для кривой, заданной в полярных координатах:
Получим
Согласно формуле (20)
Тогда
Задача 17. Найти массу дуги кривой
Решение. Применяем формулу (28) вычисления массы дуги с помощью криволинейного интеграла I рода:
Формула (25) позволяет преобразовать криволинейный интеграл в определенный:
Так как
Задача 18. Найти работу вектор-силы
Решение. Работа А, совершаемая вектор-силой
на криволинейном пути L, есть криволинейный интеграл II рода (формула (32)), т. е.
Кривая задана параметрически, поэтому применяем формулу (31):
где
Тогда
Задача 19. Вычислить
1 способ. Двойной интеграл можно вычислить по формуле (33):
Здесь
поэтому
2 способ. Можно использовать формулу (34):
Тогда
Значит,
где D – правая половина кольца (см. рисунок).
Решение. Будем вычислять интеграл в полярных координатах по формуле (35):
Здесь
Так как
Тогда уравнения окружностей
Следовательно,
Ряды
Задача 21. Определить, какие ряды сходятся:
А)
Решение.
1. К ряду
Так как
2. Рассмотрим ряд
Поскольку
3. При исследовании сходимости ряда
Для сравнения возьмем обобщенный гармонический ряд
Применим теорему сравнения
Предел конечен и отличен от нуля, поэтому ряд
Задача 22. Исследовать на сходимость ряды:
1)