Учебно-методическое пособие по специальным разделам высшей математики Самара 2006 (стр. 4 из 7)

Решение.

1. Рассмотрим ряд

.

Он знакочередующийся. К таким рядам применим признак Лейбница. Знакочередующийся ряд

сходится при условии:

1)

2)

.

Так как

и , условия признака Лейбница выполняются, значит, ряд сходится. Если знакопеременный ряд сходится, то эта сходимость называется абсолютной или условной в зависимости от того, сходится или расходится соответствующий ряд из абсолютных величин членов знакопеременного ряда. Составим ряд из абсолютных величин

.

Получили положительный ряд. Применяем к нему достаточный признак сходимости – признак Даламбера: если

то положительный ряд сходится при и расходится, когда

Поскольку

,

ряд

сходится, следовательно, ряд сходится абсолютно.

2. Рассмотрим ряд

.

Условия признака Лейбница выполняются:

1)

2) Значит, ряд сходится. Исследуя ряд на абсолютную сходимость, составим ряд из абсолютных величин Применяем интегральный признак сходимости Маклорена-Коши: положительный ряд сходится или расходится в зависимости от того, сходится или расходится (здесь при - непрерывная, положительная и монотонно убывающая функция, такая что ).

Вычисляем

Это означает, что несобственный интеграл расходится, тогда расходится ряд

, а исходный ряд сходится условно.

Отметим, что при исследовании сходимости ряда

можно было использовать предельный признак сходимости (см. задачу 21).

Задача 23. Найти область сходимости функционального ряда

Решение. Это частный случай функционального ряда – степенной ряд вида

Радиус сходимости R такого ряда можно найти по одной из формул:

или .

Интервал абсолютной сходимости степенного ряда определяется неравенством

. Вне этого интервала, при ряд расходится. На концах интервала – в точках поведение ряда исследуется особо.

Находим радиус сходимости для заданного ряда по первой формуле. Так как

, получаем

Тогда ряд сходится, если

, откуда , то есть .

Исследуем сходимость ряда в точках

и .

При

исходный ряд принимает вид

Это обобщенный гармонический сходящийся ряд (

сходится, если ).

При

получаем знакочередующийся ряд Этот ряд сходится (притом абсолютно), так как сходится ряд из абсолютных величин его членов:

Итак, исходный ряд сходится для всех

.

Задача 24. Найти коэффициенты

и разложения в ряд Фурье функции

.

Записать это разложение.

Решение. Воспользуемся формулами (36), (37) разложения в ряд Фурье функции

, заданной на отрезке :

,

где

Найдем коэффициенты

и . Так как , получим

Так как

можно заменить более простой функцией , получим .

Подставляем найденные коэффициенты в ряд Фурье:

Задача 25. Найти коэффициенты

разложения в ряд Фурье по синусам функции

.

Решение. Коэффициенты

разложения функции в ряд Фурье по синусам определяются по формуле (41):

Тогда

Так как

, получим

Дифференциальные уравнения

Задача 26. Найти общее решение дифференциального уравнения

.

Решение. Это уравнение вида

- линейное дифференциальное уравнение I порядка. Такое уравнение можно решать методом Бернулли с помощью подстановки где u и v две неизвестные функции. Подставляя в исходное уравнение получим