Учебно-методическое пособие по специальным разделам высшей математики Самара 2006 (стр. 5 из 7)
или 
Так как одна из неизвестных функций может быть выбрана произвольно, возьмем в качестве v одно из частных решений уравнения
Тогда исходное дифференциальное уравнение примет вид
Рассмотрим каждое из получившихся уравнений. Первое уравнение – дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными. Разделяем переменные:
Интегрируя, находим
Подставим найденную функцию v во второе уравнение
. Получим 
откуда 
Это дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными. Решая его, находим функцию и:
Возвращаясь к функции у, получим
Задача 27. Найти общий интеграл дифференциального уравнения
Решение. Это однородное дифференциальное уравнение. Его вид
позволяет сделать замену 
и свести к уравнению с разделяющимися переменными. Итак, заменяя функцию у на t , получаем , 
Уравнение примет вид
Разделяем переменные и интегрируем:
Выполнив обратную замену, находим общий интеграл исходного уравнения – решение, записанное в неявном виде
Задача 28. Среди перечисленных дифференциальных уравнений найти уравнения в полных дифференциалах:
1)
2)
3)
Решение. Дифференциальное уравнение
является уравнением в полных дифференциалах, если выполняется условие
Проверим его для каждого уравнения.
1.
Условие не выполняется.
2.
Условие выполняется, тогда
- уравнение в полных дифференциалах.
3.
Условие не выполняется.
Задача 29. Найти общее решение дифференциального уравнения
Решение. Это линейное однородное дифференциальное уравнение 3 порядка с постоянными коэффициентами. Составим характеристическое уравнение (см. прил.2, п.1)
Так как его корни действительны и различны (
), общее решение исходного уравнения имеет вид 
или 
Задача 30. Найти общее решение дифференциального уравнения
Решение. Данное уравнение является линейным однородным дифференциальным уравнением 4 порядка с постоянными коэффициентами.
Составим характеристическое уравнение (см. прил. 2, п.1)
Паре корней
соответствует решение 
Комплексным корням
соответствует решение 
Общее решение исходного уравнения есть сумма полученных решений
Задача 31. Указать вид частного решения дифференциального уравнения
Решение. Это линейное неоднородное дифференциальное уравнение 2 порядка с постоянными коэффициентами. Согласно теории таких уравнений (см. прил. 2, п.2) сначала решаем характеристическое уравнение
Затем правую часть уравнения представляем в виде
Получим
Здесь, 
Частное решение, определяемое по правой части, будет иметь вид
где S – показатель кратности числа 5 как корня характеристического уравнения
Итак,
или 
Задача 32. Указать вид частного решения дифференциального уравнения
Решение. Характеристическое уравнение
имеет корни 
Будем искать частное решение
данного уравнения по виду правой части (см. прил. 2, п. 2).Запишем правую часть данного уравнения в виде
Получим
Значит,
Частное решение будет иметь вид
где
- показатель кратности корня 
в характеристическом уравнении.Так как в данном случае
значение 
совпадает с корнем характеристического уравнения и 
, получим 
или
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Данко П.Е., Попов А.Г. Высшая математика в упражнениях и задачах. Ч. 2. М.: Высшая школа, 1967. 350 с.
2. Самарин Ю.П., Сахабиева Г.А. Математика-5 для студентов вузов. Самара, 2000. 54 с.
3. Самарин Ю.П., Сахабиева Г.А. Математика-6 для студентов вузов. Самара, 2000. 61 с.
4. Самарин Ю.П., Сахабиева Г.А. Математика-7 для студентов вузов. Самара, 2000. 72 с.
5. Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. Т. 2. М., 1970, 800 с.