Учебно-методическое пособие по специальным разделам высшей математики Самара 2006 (стр. 1 из 7)

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «Самарский государственный Технический университет»

К а ф е д р а «Высшая математика и прикладная информатика

Л.В. ЛИМАНОВА

Л.А. МУРАТОВА

ИНТЕГРАЛЫ,

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ
УРАВНЕНИЯ,

РЯДЫ

(Задачи и решения)

Учебно-методическое пособие

по специальным разделам высшей математики

Самара 2006

УДК 517.531, 519.2

Интегралы, дифференциальные уравнения, ряды (Задачи и решения): Учеб.-метод. пособ. по специальным разделам высшей математики/ Л.В. Лиманова, Л.А. Муратова; Самар. гос. техн. ун-т. Самара, 2006. 28 с.

Представлены задачи и их решения из следующих разделов высшей математики: «Интегральное исчисление», «Дифференциальные уравнения», «Ряды».

Для студентов всех специальностей СамГТУ.

Ил. 5. Библиогр.: 6 назв.

Печатается по решению редакционно-издательского совета СамГТУ

В данной работе 3 раздела: «Интегралы», «Дифференциальные уравнения», «Ряды».

В первом разделе содержатся задачи по темам: «Неопределенные и определенные интегралы», «Двойные интегралы», «Криволинейные интегралы I и II рода».

Раздел дифференциальных уравнений представлен линейными уравнениями I порядка, однородными уравнениями I порядка, уравнениями в полных дифференциалах, линейными дифференциальными уравнениями высших порядков с постоянными коэффициентами.

В третьем разделе рассматриваются числовые положительные и знакопеременные ряды, функциональные ряды, ряды Фурье.

Выбор задач по указанным темам определен программой курса высшей математики для 2 семестра СамГТУ.

Назначение работы – помощь студентам при подготовке к экзамену по высшей математике.

ИНТЕГРАЛЫ

Задача 1. Вычислить

.

Решение. Интеграл можно свести к табличному (1), если сделать замену

. Дифференцируя обе части равенства, получим , т.е. . Интеграл определенный, поэтому необходимо изменить пределы интегрирования: если , то ; если , то .

Следовательно,

Задача 2. Вычислить

.

Решение. Сведем данный интеграл к табличному (3), сделав замену переменной

. Тогда Изменяем пределы интегрирования: если , то ; если , то .

Получаем

Задача 3. Вычислить

.

Решение. Интеграл относится к группе интегралов:

, , , где - многочлен степени п. Вычисление таких интегралов выполняется интегрированием по частям по формуле (17)

Если за и принять многочлен

, то в результате применения формулы (17) интеграл упростится (уменьшится степень многочлена).

Обозначим

Найдем

Тогда

Задача 4. Вычислить

.

Решение. Этот интеграл относится к группе интегралов вида

, , ,

( - многочлен степени п) и вычисляется по формуле интегрирования по частям (17). В результате применения этой формулы исходный интеграл упростится, если за и принимать функции . Итак, положим

Тогда

Получаем

Задача 5. Вычислить

.

Решение. Выполним замену переменной:

Получим

В подынтегральном выражении выделим целую часть: