Задачи на отношения Ханты-Мансийск Новосибирск (стр. 2 из 3)

В некоторых задачах следует пытаться самим добавлять прямые так, чтобы получались либо параллельные секущие сторон угла, либо пары подобных треугольников.

Пример 5. В треугольнике ABC точки D на стороне AC и E на стороне BC расположены так, что

.

Рис. 7

Отрезки BD и AE пересекаются в точке P. Найти отношение

.

Решение. С целью получения параллельных секущих сторон углов проведем через точку D прямую параллельно прямой AE, которая пересекает сторону BC в точке F (рис. 7). Так как AE и DF являются параллельными секущими сторон угла ACB, то

. Поэтому , откуда , . Далее, из условия следует, что , откуда и , . Так как , то . После этого замечаем, что прямые DF и AE являются параллельными секущими сторон угла CBD, откуда .

Таким образом, добавление прямой DF позволяет свести задачу на вычисление отношения

к задаче на вычисление отношения .

Пример 6. В треугольнике ABC точка M середина стороны AB, а точка K расположена на продолжении стороны AC так, что

. Прямая MK пересекает сторону BC в точке P. Найти отношение .

Рис. 8

Решение. Добавив прямую CF, параллельную прямой MK (рис. 8), задачу на вычисление

сводим к задаче на вычисление . Для сокращения записей обозначим длину стороны AB через a. Из условия . Далее, так как прямые CF и MK являются параллельными секущими сторон угла CAB, то , откуда .

Поэтому

.

При вычислении отношений отрезков можно использовать и подобие треугольников.

Пример 7. В треугольнике ABC точки M на стороне AB и N на стороне BC расположены так, что

, . Отрезки AN и CM пересекаются в точке P, а прямая BP пересекает сторону AC в точке K. Найти отношение .

Рис. 9

Решение. С целью получения пар подобных треугольников проведем через вершину B прямую m параллельно прямой AC и отметим точки E и F пересечения прямой m с прямыми AN и BM (рис. 9). Далее последовательно обратим внимание на пары подобных треугольников. Прежде всего заметим, что подобны треугольники BMF и AMC, так как

и . По свойству подобных треугольников получаем, что , откуда , и . Аналогично из подобия треугольников BNE и ANC находим, что . В результате . После этого следует обратить внимание на подобие треугольников PEF и PAC, откуда . Наконец, можно найти еще пары подобных треугольников, что позволяет получить в задаче ответ. Заметим, что треугольники BPE и APK подобны, откуда , , и .

III. Отношение площадей

Рассмотрим треугольник ABC и выберем на стороне AC точку

M. Если провести в треугольнике ABC высоту BH, то эта высота одновременно будет и высотой в треугольнике ABM (рис. 10). Записывая площади треугольников ABC и ABM, получаем

Рис. 10

, ,

и

.

Следовательно, зная площадь треугольника ABC и отношение

, можно очень быстро вычислить площадь треугольника AMC.

Заметим, что найденная закономерность сохраняется и в том случае, когда точка M находится на продолжении стороны AC. Снова рассмотрим треугольник ABC, и на сторонах AC и AB, либо на продолжениях этих сторон, выберем соответственно точки M и K (рис. 11).

Рис. 11

Используя найденную закономерность получаем, что

и .

Отсюда

.

Пример 8. В треугольнике ABC точки M на стороне AB и K на стороне BC расположены так, что

, . Отрезки AK и CM пересекаются в точке P. Найти площадь четырехугольника PMBK, если площадь треугольника ABC равна 12.

Решение. Сначала вычислим отношение

, для чего проведем (рис. 12). Так как , то , а из того, что , , получаем , откуда и . Теперь переходим к вычислению площадей.

Так как

, то .

Далее,

Рис. 12

.

Поэтому

.

Рассмотренную закономерность можно обобщить следующим образом: если для треугольников ABC и EFG известны отношения

двух сторон и отношение соответствующих высот, то .