Задачи на отношения Ханты-Мансийск Новосибирск (стр. 1 из 3)

Югорский физико-математический лицей

Заочное отделение

Ю.В. Михеев

Задачи на отношения

Ханты-Мансийск - Новосибирск

2008

Михеев Ю.В. Задачи на отношения. Учебно-методическое пособие. Ханты-Мансийск, 2004, 12 с.

В пособии задании рассматриваются свойства медиан, высот и биссектрис треугольника и разнообразные примеры на применение этих свойств.

Рецензент к.ф.-м.н. В.П. Чуваков

ã Михеев Ю.В. 2004

Отношение величин возникают часто. Иногда требуется установить, во сколько раз одна величина больше или меньше другой величины, иногда известно отношение величин и нужно найти одну из них, зная значение другой, и т. д.

В геометрии задачами такого вида, в основном, являются задачи на отношение длин отрезков и кривых, на отношение площадей фигур, на отношение объемов.

Каждый раз при вычислении отношений величин нужно следить за тем, чтобы их значения были выражены в одинаковых единицах измерения. В дальнейшем для упрощения записи значения длин и площадей будем обозначать только числами, предполагая, что в реальной практической задаче всегда можно указать необходимые единицы измерения.

I. Отношения отрезков на прямой

При решении задач на отношение длин отрезков, расположенных на одной прямой, всегда используются основные свойства длины:

- длина каждого отрезка неотрицательна;

- длина отрезка BA равна длине отрезка AB;

- равные отрезки имеют одинаковую длину;

- если отрезок AB составлен из отрезков AC и CB, то

Из перечисленных свойств следует, что если отрезок составлен из нескольких равных частей, то длина всего отрезка равна длине одной части, умноженной на количество частей. С помощью этого свойства иногда отношение отрезков находится легко.

Пример 1. На отрезке AB точка C расположена так, что

. Найти отношение

Решение. Разобьем отрезок AC на 5 равных частей. Пусть длина каждой части равна a.

Рис. 1

Тогда

, а из условия

следует, что

(рис. 1). Поэтому

Данный способ удалось применить потому, что по условию отношение отрезков равно отношению небольших натуральных чисел. В более сложных ситуациях аналогичные задачи удается решить алгебраическим способом.

Пример 2. На отрезке AB точка C расположена так, что

Рис. 2

. Найти отношение

Решение. Пусть

. Тогда из условия

, откуда

. Поэтому

(рис. 2), откуда

Когда на прямой заданы три или большее число точек, то по некоторым известным отношениям отрезков также можно находить отношения каких-то других отрезков.

Пример 3. На отрезке AB точки C и D расположены так, что точка C лежит между точками A и D (рис. 3).

Рис. 3

Известно, что

. Найти отношение

Решение. Пусть

. Тогда из условия

. Поэтому

. Следовательно,

, и

. Но тогда

, откуда

Геометрически решение данной задачи можно представить в очень наглядном виде. Однако сделать это сложнее, чем решить задачу алгебраическим способом. Чтобы придумать геометрическое решение, нужно понять, что отношение

хорошо представить наглядно, когда отрезок AB разделен на равные части, число которых кратно трем, а отношение

хорошо представляется наглядно – когда число равных частей кратно пяти.

Рис. 4

Так как число 15 кратно и 3, и 5, то поделив отрезок AB на 15 равных частей, точки C и D следует поставить так, как показано на рис. 4. В результате ответ, найденный в решении, становится очевидным.

II. Отношения отрезков на плоскости

При решении задач на вычисление отношений отрезков, не лежащих на одной прямой, чаще всего используются теорема Фалеса и подобие треугольников. Приступая к изучению данного раздела, следует вспомнить этот материал, и особенно теорему Фалеса, формулировку которой приводим в обобщенном виде.

Пусть параллельные прямые a, b, c, d, и т. д. пересекают одну сторону заданного угла в точках A₁, B₁, C₁, D₁, и т. д., вторую сторону угла соответственно в точках A₂, B₂, C₂, D₂, и т. д. (рис. 5). Тогда

, и т. д.

Рис. 5

В тех случаях, когда на чертеже имеются параллельные прямые, можно всегда пытаться применять теорему Фалеса.

Пример 4. В треугольнике ABC точка D лежит на стороне AC, а точки E на AB, H на BC, F и G на BD расположены так, что

, EF и GH параллельны AC. Найти отношение

Решение. Заметим, что прямые AC и EF параллельны и пересекают стороны угла ABD (рис. 6).

Поэтому по теореме Фалеса

. Аналогично, из того что параллельные прямые AC и GH пересекают стороны угла DBC, находим

. В итоге на прямой BD становятся известными два отношения отрезков, и решение завершаем так, как рассматривалось в первом разделе.

Рис. 6

Пусть

Тогда

, откуда