Учебно-методическое пособие для учителей и учащихся Автор -дьячков Алексей Константинович, учитель математики моу сош №153 г. Челябинска, Заслуженный учитель РФ (стр. 2 из 9)
1. строим графики
и 
. 
2. находим точки пересечения графиков.3. выписываем ответ.
Рассмотрим образец решения задачи с параметром.
Задача. Решите уравнение 
. (1 способ решения – аналитический)
Решение. Заметим, что левая часть уравнения неотрицательна при всех значениях неизвестной, следовательно, при отрицательном значении параметра решений нет. Если параметр
, то уравнение принимает вид 
, и имеет один корень 
. При положительном значении параметра а, данное уравнение имеет два корня 
.Ответ: при
, корней нет;при
, один корень ; 
при 
, два корня .2 –ой способ решения – графический.
Построим в одной системе координат графики обеих частей уравнения: параболу
и семейство прямых 
, которые движутся вдоль оси ординат. По рисунку записываем ответ.Графическим способом задача решается быстрее. На рисунке все решение видно.
Достаточно одного взгляда, чтобы определить количество корней уравнения в зависимости от параметра а. Можно было без объяснения сделать чертеж, и написать одно слово «Смотри!», именно так поступали древнегреческие учителя, обучая своих учеников доказательству теоремы Пифагора.
Задача. При каких значениях параметра а уравнение
имеет единственное решение?Решение. Записываем данное уравнение в виде
. Построим графический образ обеих частей уравнения. Левая часть представляет собой «прямой угол», ветви направлены вниз, вершина (2;3). Правая часть представляет семейство прямых параллельных оси абсцисс. Из чертежа видно, что единственное решение возможно при 
.Ответ:
Задача. При каких значениях параметра а уравнение
не имеет решений? 
Решение. Построим графический образ обеих частей уравнения. Левая часть представляет собой «прямой угол», ветви направлены вверх, вершина (1;-1). Правая часть представляет семейство прямых параллельных оси абсцисс. Из чертежа видно, что решений нет при
.Ответ:
Вывод о решении задач с параметром графическим способом в общем виде.
Задачу с параметром будем рассматривать как функцию
. Алгоритм решения:1. строим графический образ.
2. пересекаем полученное изображение прямыми, параллельными оси абсцисс.
3. Считываем нужную информацию.
Примеры графической интерпретации решений заданий с параметром на основе исследования свойств графиков достаточно известных и простых уравнений таких геометрических фигур, как: прямая, окружность, парабола, синусоида, квадрат, ломаная линия, угол показывают, что решения становятся абсолютно наглядными, естественными и достаточно простыми. Если уравнение одной из фигур не зависит от изменяющегося параметра, то график этой фигуры неподвижен относительно системы координат. Если в уравнение другой фигуры входит параметр, то от его изменения зависит расположение и даже форма графика. Тогда суть решения уравнения состоит в определении числа точек пересечения графиков построенных уравнений, а значит в определении количества возможных решений в зависимости от конкретных числовых значений параметра. Для усложнения заданий эти уравнения искусственно преобразуют, «камуфлируют». Дополнительная сложность возникает при поиске чисто аналитического метода решения. При его геометрической интерпретации часто решения становятся абсолютно наглядными, естественными и достаточно простыми, таким образом, преимущество на экзамене получают те из школьников или абитуриентов, кто владеет незаурядным аналитическим и образно-геометрическим мышлением. Однако, далеко не все задания с параметром предполагают применение геометрической интерпретации, а только задания очень высокого учебно-методического и развивающего уровня. Поэтому следует научиться решать задачи и аналитическими способами, исследуя свойства функций, содержащихся в уравнении или неравенстве. Ниже приведены решения двух подобных заданий.
Задание №1. Найдите все значения параметра а при которых уравнение:
имеет два решения.
Первая идея – выделить полный квадрат относительно параметра а:
Следующая идея не столь очевидная, но абсолютно естественная – выделить полный квадрат относительно модуля х. Тогда не будет необходимости в раскрытии модульных скобок.
Первая часть решения завершена. Мы пришли к тому, что левая часть уравнения зависит от параметра, а правая не зависит. Далее предстоит исследование на число точек пересечения графиков уравнений:
Преобразуем второе уравнение:
.Второе уравнение описывает окружность с центром в начале координат и радиусом равным 3. Эта окружность не зависит от параметра и не меняет своего положения в процессе исследования. Более интересным в этом отношении является график первого уравнения, вернее целое семейство графиков. Параметр а придаёт этому уравнению динамичность перемещения относительно координатных осей и изменчивость формы графика от прямого угла до ломаной линии с прямыми
углами. А именно, при а – 5 ≥ 0 график первого уравнения имеет вид:
Рис. 1
При а – 5 < 0 график преобразуется в ломаную линию следующего вида:
Рис. 2
Исследуем графически решение системы:
Тогда система и исходное уравнение имеют два решения.
Рис. 3
Теперь исследуем эту же систему при a – 5 < 0. В этом случае два решения возможны когда: -3 < a – 5 < 0, то есть для значений параметра в пределах 2 < a < 5.
Графически эти решения получаются следующим образом:
Рис. 4
При a – 5 = -3 то есть при a = 2 уравнение имеет три корня. При a < 2 уравнение имеет четыре решения до тех пор, пока графики окружности и ломаной имеют четыре общие точки. Но наступит момент, когда соответствующие секущие станут касательными, и тогда уравнение снова будет иметь только два решения.
Рис. 5
В этом случае:
Объединяя все полученные решения, имеем:
Формулировка следующего задания очень похожа на только что решённое, но метод решения совершенно иной и аналогия здесь просто не работает.
Задание №2. Найти все значения параметра а, при каждом из которых меньший корень уравнения 
меньше 5.
Выразим координаты вершин M(m;n) парабол
(Каждому конкретному значению параметра а соответствует определённая парабола).
Как видно, обе координаты вершин парабол линейно зависят от параметра а. Это означает, что все возможные вершины рассматриваемых парабол принадлежат некоторой прямой. Фактически уже задано так называемое параметрическое уравнение этой прямой. Для получения уравнения в координатной плоскости xOy остаётся ввести новые переменные, и исключить из уравнений координат параметр а.