Учебно-методическое пособие для учителей и учащихся Автор -дьячков Алексей Константинович, учитель математики моу сош №153 г. Челябинска, Заслуженный учитель РФ (стр. 3 из 9)

Получили уравнение прямой, на которой лежат вершины всех парабол, отвечающих уравнению:

График любой из этих парабол можно получить параллельным переносом параболы

на вектор с началом в начале координат и с концом на графике прямой

Так как 2 > 0, то ветви всех парабол направлены вверх. Следовательно, при n ≥ 0 уравнение либо имеет один действительный корень, либо ни одного. Тогда значения параметра а , удовлетворяющие условию задания, можно найти, вычислив координаты вершины такой параболы, левая ветвь которой проходит через точку А (5;0).

Рис. 6

При m = -2,5 , тогда:

Найдём значение параметра а, соответствующего параболе, левая ветвь которой проходит через точку (5;0).

Таким образом, при -0,5 < a < 4 вершины парабол находятся ниже оси абсцисс и меньший корень исходного уравнения меньше 5.

Широкое распространение за последние годы в ходе государственной (итоговой) аттестации выпускников средней школы в формате ЕГЭ и на вступительных экзаменах в вузы, предъявляющие повышенные требования к математической подготовке абитуриентов, получили задачи на использование расположения корней квадратного трехчлена на оси.

Выделим два наиболее распространенных типа задач, связанных с применением графика квадратичной функции. Первый тип - задачи, в которых изучается расположение корней квадратного трехчлена относительно точки с абсциссой, равной m. Второй тип - задачи, в которых выясняется, как расположены корни квадратного трехчлена относительно отрезка.

Первый тип задач предусматривает три случая:

• оба корня меньше m
• один корень меньше m, а другой больше
• оба корня больше m

Для каждого из этих случаев выполним соответствующий рисунок и адекватно ему запишем систему неравенств при условии, что старший коэффициент квадратного трехчлена f (x) = ax² + bx + c положительный. В таблице приведена полная система случаев расположения корней уравнения в зависимости от значений выражений, зависящих от коэффициентов уравнения.

Таблица1. Расположение корней квадратного трехчлена

	один корень меньше m, а другой больше Условие a > 0 обеспечивает положительный коэффициент перед x2 (направленность ветвей параболы вверх) Условие f (m) < 0 обеспечивает: наличие корней квадратного трехчлена расположение точки m между корнями
	оба корня больше m Условие a > 0 обеспечивает положительный коэффициент перед x2 Условие f (m) > 0 обеспечивает расположение точки m вне отрезка между корнями Условие D 0 обеспечивает наличие корней уравнения Условие x0 > m обеспечивает расположение точки m левее отрезка между корнями
	оба корня меньше m Условие a > 0 обеспечивает положительный коэффициент перед x2 Условие f (m) > 0 обеспечивает расположение точки m вне отрезка между корнями Условие D 0 обеспечивает наличие корней уравнения Условие x0 < m обеспечивает расположение точки m правее отрезка между корнями

Рассмотрим расположение корней квадратного трёхчлена относительно отрезка. При этом возможны шесть случаев:

• корни квадратного трёхчлена находятся справа от отрезка
• корни квадратного трёхчлена находятся слева от отрезка
• больший корень находится внутри отрезка
• меньший корень находится внутри отрезка
• оба корня внутри отрезка
• отрезок между корнями квадратного трехчлена

Изобразим геометрическую модель каждой из этих ситуаций и составим к каждой из них адекватную систему неравенств при условии, что старший коэффициент квадратичной функции y = ax² + bx + c больше нуля.

	корни квадратного трёхчлена находятся справа от отрезка Условие f (p) > 0 обеспечивает нахождение корней вне отрезка между корнями Условие D > 0 обеспечивает наличие двух корней квадратного трёхчлена Условие x0 > p обеспечивает расположение отрезка левее абсциссы вершины
	корни квадратного трёхчлена находятся слева от отрезка Условие f(m) > 0 обеспечивает расположение корней вне отрезка между корнями Условие D > 0 обеспечивает наличие корней уравнения Условие x0 < m обеспечивает расположение точки m правее отрезка между корнями
	больший корень находится внутри отрезка Условие f (m) < 0 обеспечивает расположение точки m внутри отрезка между корнями Условие f (p) > 0 обеспечивает расположение корней вне отрезка меду корнями
	меньший корень находится внутри отрезка Условие f (p) < 0 обеспечивает расположение точки p внутри отрезка между корнями Условие f (m) > 0 обеспечивает расположение точки m вне отрезка между корнями
	оба корня внутри отрезка Условие f (m) > 0 обеспечивает расположение точки m вне отрезка между корнями Условие f (p) > 0 обеспечивает расположение точки p вне отрезка между корнями Условие D > 0 обеспечивает наличие корней уравнения Условие m < x0 < p обеспечивает расположение вершины параболы между концами отрезка
	отрезок между корнями квадратного трехчлена Условие f (p) < 0 обеспечивает расположение точки p внутри отрезка между корнями Условие f (m) < 0 обеспечивает расположение точки m вне отрезка между корнями

Приведем примеры использования этих условий при решении нескольких задач этого типа.

Задача №1При каких значениях параметра а корни уравнения ах² + (2a - 1)x + a - 1 = 0 меньше 1?

Для того чтобы быть уверенным в положительном коэффициенте перед х² умножим всё уравнение на параметр.

а²х² + (2a - 1)аx + a(a - 1) = 0

Должны выполняться следующие условия:

Рассмотрим первое условие f (1) > 0:

a² + (2a - 1)а + a(a - 1) > 0

4а² - 2a > 0

2a(2a - 1)> 0

Решениями данного неравенства будут а

(- ; 0) (0.5; + )

Абсцисса вершины должна быть меньше 1:

это равносильно

Получаем, что а

(- ; 0) (0.25; + )

Найдём дискриминант данного уравнения:

D = (2a - 1)²а² - 4(a - 1)a³

D

0

4a⁴ - 4a³ + a² - 4a⁴ + 4a³

0

a²

0, отсюда следует, что a R

Из трех полученных промежутков формируем общее решение.

ОТВЕТ: при а (- ; 0) (0.5; + ) корни уравнения больше 1

1. При каких значениях параметра а корни уравнения х² + ах + 1 - а² = 0 принадлежат промежутку (-1; 1)?