Учебно-методическое пособие для учителей и учащихся Автор -дьячков Алексей Константинович, учитель математики моу сош №153 г. Челябинска, Заслуженный учитель РФ (стр. 1 из 9)
Управление образования Центрального района г. Челябинска
Муниципальное Общеобразовательное учреждение
Средняя общеобразовательная школа №153
Функционально-графический подход к решению задач с параметрами.
Учебно-методическое пособие для учителей и учащихся
Автор -Дьячков Алексей Константинович, учитель математики МОУ СОШ №153 г. Челябинска, Заслуженный учитель РФ.
г. Челябинск, 2010 год
Настоящее методическое пособие составлено в связи с тем, что решение задач с параметрами вызывает затруднения учителей и учащихся. В пособии даются примеры решения задач с параметрами. При его подготовке была использована методическая литература и Интернет-ресусы.
За последние годы издано много учебных и методических пособий и сборников задач указанного типа. В 2010 году, например, опубликовано пособие В.Голубева и А. Гольдмана «О задачах с параметрами», теоретические основы которого можно использовать при обучении школьников. Если мы вспомним некоторые основные уравнения (например, kx+l=0, ax2+bx+c=0), то обратим внимание, что при поиске их корней значения остальных переменных, входящих в уравнения, считаются фиксированными и заданными. Все разночтения в существующей литературе связаны с толкованием того, какими фиксированными и заданными могут быть эти значения остальных переменных.
Например, в уравнениях |x|=a–1 и ax=1 при a=0 равенства не выполняются при любых значениях переменной x, а в уравнения
при a=0 их левые части не определены. Есть авторы, допускающие рассмотрение значения a=0 во всех приведенных случаях, и есть авторы, исключающие его в двух последних, вводя понятие допустимых значений переменной a.Поскольку в школьных учебниках нет определения параметра, можно предложить взять за основу следующий его простейший вариант.
Определение. Параметром называется независимая переменная, значение которой в задаче считается заданным фиксированным или произвольным действительным числом, или числом, принадлежащим заранее оговоренному множеству.
Независимость параметра заключается в его «неподчинении» свойствам, вытекающим из условия задачи. Например, из неотрицательности левой части уравнения |x|=a–1 не следует неотрицательность значений выражения a–1, и если a–1<0, то мы обязаны констатировать, что уравнение не имеет решений.
Что означает «решить задачу с параметром»?
Естественно, это зависит от вопроса в задаче. Если, например, требуется решить уравнение, неравенство, их систему или совокупность, то это означает предъявить обоснованный ответ либо для любого значения параметра, либо для значения параметра, принадлежащего заранее оговоренному множеству.
Если же требуется найти значения параметра, при которых множество решений уравнения, неравенства и т. д. удовлетворяет объявленному условию, то, очевидно, решение задачи и состоит в поиске указанных значений параметра.
Более прозрачное понимание того, что означает решить задачу с параметром, у читателя сформируется после ознакомления с примерами решения задач на последующих страницах.
Основные типы задач с параметрами?
Тип 1. Уравнения, неравенства, их системы и совокупности, которые необходимо решить либо для любого значения параметра (параметров), либо для значений параметра, принадлежащих заранее оговоренному множеству.
Этот тип задач является базовым при овладении темой «Задачи с параметрами», поскольку вложенный труд предопределяет успех и при решении задач всех других основных типов.
Тип 2. Уравнения, неравенства, их системы и совокупности, для которых требуется определить количество решений в зависимости от значения параметра (параметров).
При решении задач данного типа нет необходимости ни решать заданные уравнения, неравенства, их системы и совокупности и т. д., ни приводить эти решения; такая лишняя в большинстве случаев работа является тактической ошибкой, приводящей к неоправданным затратам времени. Однако не стоит абсолютизировать сказанное, так как иногда прямое решение в соответствии с типом 1 является единственным разумным путем получения ответа при решении задачи типа 2.
Тип 3. Уравнения, неравенства, их системы и совокупности, для которых требуется найти все те значения параметра, при которых указанные уравнения, неравенства, их системы и совокупности имеют заданное число решений (в частности, не имеют или имеют бесконечное множество решений). Легко увидеть, что задачи типа 3 в каком-то смысле обратны задачам типа 2.
Тип 4. Уравнения, неравенства, их системы и совокупности, для которых при искомых значениях параметра множество решений удовлетворяет заданным условиям в области определения.
Например, найти значения параметра, при которых:
1) уравнение выполняется для любого значения переменной из заданного промежутка;
2) множество решений первого уравнения является подмножеством множества решений второго уравнения и т. д.
Многообразие задач с параметром охватывает весь курс школьной математики (и алгебры, и геометрии), но подавляющая часть из них на выпускных и вступительных экзаменах относится к одному из четырех перечисленных типов, которые по этой причине названы основными.
Наиболее массовый класс задач с параметром — задачи с одной неизвестной и одним параметром. Следующий пункт указывает основные способы решения задач именно этого класса.
Основные способы (методы) решения задач с параметром
Способ I (аналитический). Это способ так называемого прямого решения, повторяющего стандартные процедуры нахождения ответа в задачах без параметра. Иногда говорят, что это способ силового, в хорошем смысле «наглого» решения.
Аналитический способ решения задач с параметром есть самый трудный способ, требующий высокой грамотности и наибольших усилий по овладению им.
Способ II (графический). В зависимости от задачи (с переменной x и параметром a) рассматриваются графики или в координатной плоскости (x; y), или в координатной
плоскости (x; a).
В школьном математическом словаре дано общее определение понятия параметр:
«Параметр – величина, характеризующая основные свойства системы или явления».
Решить уравнение с параметром -это значит, для каждого значения параметра найти значения x, удовлетворяющие условию этой задачи..
В математике ярким и всем известным с 8 класса уравнением с параметром является уравнение квадратного трехчлена:
. В зависимости от коэффициентов 
и дискриминанта 
, график данного уравнения может иметь различное положение на координатной плоскости.Определение: В уравнениях (неравенствах) коэффициенты при неизвестных или свободные члены заданные не конкретными числовыми значениями, а обозначенные буквами, называются параметрами.
Как зависит от коэффициента а график квадратичной функции?Направление ветвей параболы: если а положительно, то ветви параболы направлены вверх, если а – отрицательно, то ветви параболы направлены вниз.
Что зависит от дискриминанта?
Количество решений квадратного уравнения. Если
, то решений нет, если 
, один корень, если 
то уравнение имеет два корня. 
Рассмотрим преобразование построение графика функций в зависимости от параметра на примере функции абсолютной величины числа. Простейшая функция задается уравнением y=IxI .Графиком этой функции является «прямой угол», с вершиной в начале координат, образованный биссектрисами первого и второго квадранта (четверти) на координатной плоскости. На чертежах показаны примеры преобразований (параллельных переносов) этого графика в зависимости от значений параметров a и b. 
На чертеже предложены изображения пяти графиков функций, и даны пять формул. Можно сопоставить формулу и её графический образ.1 Формула
задает квадратичную функцию, её графиком является парабола, 1 рисунок.2 Формула
задает функцию абсолютной величины числа, её графиком является «прямой угол», 3 рисунок.3 Формула
задает обратную пропорциональность, её графиком является гипербола, 2 рисунок.4 Формула
задает прямую пропорциональность, её графиком является прямая, 5 рисунок.Формула
задает «полупараболу», направленную вдоль оси абсцисс, рисунок 4.Запишем схему решения уравнений 
графическим способом.