Учебно-методическое пособие для самостоятельной работы студентов Автор-составитель В. А. Чумаков (стр. 13 из 17)

Допускаемый угол закругления в машиностроении принимают:

[φ^°] = 0,25…1,00 град/м.

Вопросы для самопроверки

1. Как нужно нагрузить прямой брус, чтобы он испытывал только кручение?

2. Как определить вращающий момент, передаваемый шкивом (зубчатым колесом и т. д.), если известна передаваемая мощность и угловая скорость?

3. Чему должна быть равна алгебраическая сумма вращающихся моментов для равномерно вращающегося вала?

4. Что называется крутящим моментом в поперечном сечении бруса?

5. Какая разница между крутящим и скручивающим или вращающим моментом?

6. Что такое эпюра крутящих моментов? Как производится ее построение? Сформулируйте правило знаков при определении величины крутящего момента.

7. Выберите из приведенных на рис. 13 эпюр крутящих моментов ту, которая соответствует схеме нагружения вала, приведите схемы напряжения, которые будут соответствовать остальным эпюрам крутящих моментов.

а) 4 кНм 3 кНм 12 кНм 5 кНм

б) 5 кНм 8 кНм

4

7 кНм

в)

5 кНм

4 кНм

3 кНм

г)

4 кНм 7 кНм

5 кНм

д)

2 кНм 5 кНм

4 кНм

Рис. 13

8. Какие напряжения возникают в поперечном сечении круглого стержня при кручении? Как находится их величина в произвольной точке поперечного сечения?

9. Что называется полярным моментом инерции сечения? Какова размерность этой величины? По каким формулам вычисляется полярный момент инерции круга и кругового кольца?

10. По какому закону распределяются напряжения в поперечном сечении круглого бруса при кручении?

11. Какая геометрическая характеристика сечения характеризует при кручении:

а) его прочность;

б) его жесткость?

12. Зависит ли напряжение, возникающее при кручении:

а) от материала бруса;

б) от формы поперечного сечения (круг или кольцо)?

13. Какие точки поперечного сечения являются опасными при кручении бруса? Для каких точек сечения напряжение вычисляется по формуле t = М_кр / W_p?

А

D В

о

С

Рис. 12

14. Как записывается условие прочности при кручении? Что такое полярный момент сопротивления? По каким формулам вычисляются его значения для круга и для кругового кольца?

15. Какой величиной характеризуется величина деформации при кручении?

16. По какой формуле определяется угол поворота какого–либо поперечного сечения бруса, имеющего ступенчато–переменное поперечное сечение и нагруженного несколькими скручивающими (вращающими) моментами?

17. Зависит ли угол закручивания сечения: а) от материала бруса; б) от формы поперечного сечения?

18. Во сколько раз изменится угол закручивания бруса, если при прочих равных условиях: а) увеличить длину бруса в два раза; б) увеличить диаметр бруса в два раза? Как отразятся подобные изменения на прочности бруса?

19. Определить диаметр вала, показанного на рис. 13,а, считая его по всей длине постоянным, если [t] = 40 МПа.

20. Напишите математическое выражение условия жесткости при кручении. Сколько различных видов расчета можно производить из этого условия?

ТЕМА 6

Поперечный изгиб

Литература: Степин П. А. § 45–54, § 58–60, Ицкович Г. М. § 7.1–7.9, § 7.13

Приступая к изучению этой темы необходимо уяснить, что теория изгиба построена при следующих допущениях и предположениях (рис. 15):

1. Геометрическая ось бруса, т. е. ось, проходящая через центры тяжести сечений, есть прямая линия;

2. Внешние силы рис.15 (нагрузки), изгибающие брус, лежат в одной плоскости, проходящей через геометрическую ось бруса, и все нагрузки перпендикулярны к геометрической оси бруса;

3. Плоскость действия нагрузок является плоскостью симметрии бруса;

4. Поперечные сечения бруса, плоские до деформации изгиба, остаются плоскими и после деформации;

5. Деформации бруса незначительны.

Изгибом называют такой вид деформации бруса, при котором в его поперечных сечениях возникают два силовых фактора – поперечная сила Q и изгибающий момент М, для определения численных значений которых используется метод сечений. Необходимо помнить, что поперечная сила в данном сечении равна алгебраической сумме внешних сил, расположенных только по одну сторону (справа или слева) от рассматриваемого сечения, а изгибающий момент в данном сечении равен алгебраической сумме моментов внешних сил (расположенных слева или справа от сечения), взятых относительно центра тяжести сечения. При этом надо строго придерживаться правила знаков для поперечной силы и изгибающего момента. Поперечная сила считается положительной, если внешние силы стремятся сдвинуть левую часть балки относительно правой вверх или правую часть балки относительно левой – вниз. Правило для поперечной силы показано на рис. 16.

Рис. 16

Правило знаков для изгибающих моментов: внешним моментам, изгибающим мысленно закрепленную в рассматриваемом сечении отсеченную часть балки выпуклостью вниз, приписывается знак плюс, а моментам, изгибающим отсеченную часть балки выпуклостью вверх, – знак минус (рис. 17).

Рис. 17

Следует научиться свободно строить эпюры поперечных сил и изгибающих моментов. Для проверки правильности построения эпюр целесообразно пользоваться теоремой Журавского, устанавливающей зависимость между изгибающим моментом и поперечной силой:

, т. е. поперечная сила равна производной от изгибающего момента по абсциссе сечения х.

Интенсивность распределения нагрузки:

, т. е. вторая производная от изгибающего момента по абсциссе сечения х равна интенсивности распределенной нагрузки.

Необходимо уметь выводить формулу для определения нормальных напряжений в производной точке сечения балки:

, где

М – изгибающий момент в данном сечении балки,

у – расстояние точки сечения от нейтральной оси,

I_x – осевой момент инерции сечения балки.

Из формулы для определения нормальных напряжений в производной точке можно получить расчетное уравнение на изгиб. Обозначив допускаемое напряжение на изгиб [σ], получим расчетное уравнение:

, где

М_max – наибольший изгибающий момент в сечении балки,

W_x – осевой момент сопротивления сечения.

Условие прочности позволяет выполнять три вида расчетов: проверочный расчет балки на прочность, определение допускаемых размеров сечения и расчет допускаемых действующих на балку нагрузок.

Рис. 18

После этого следует перейти к изучению вопроса об определении углов поворота поперечных сечений и прогибов балок. Для их определения целесообразно использовать универсальные уравнения.

Линейное перемещение у центра тяжести сечения называется прогибом. Наибольший прогиб обозначают f. Сечение балки поворачивается вокруг нейтральной линии сечения на некоторый угол φ, который называется углом поворота сечения. Условие жесткости при изгибе записывают в виде:

f ≤ [f]; φ_max ≤ [φ].

Допускаемый прогиб назначают в долях пролета балки l.

Для валов принимают [f] = (0,0002...0,0010)l.

Допускаемые углы поворота сечений вала в местах, где расположены подшипники, принимают в пределах 0,001...0,005 рад.

Вопросы для самопроверки

1. Как нужно нагрузить прямой брус, чтобы он испытывал только прямой изгиб?

2. Что называется поперечной силой и изгибающим моментом в данном сечении балки?

3. Как находится поперечная сила в каком–либо сечении балки? Сформулируйте правило знаков для определения поперечной силы.

4. Как находится изгибающий момент в каком–либо сечении балки? В каком случае изгибающий момент считается положительным?

5. Определите поперечную силу и изгибающий момент в каждом поперечном сечении балки на рис. 19.

F = 12 кН q = 8 кН/м

М = 2 кН×м 1 2 3

0,2 м 0,5 м 0,5 м 1,4 м 0,4 м 1,2 м

1 2 3

Рис. 19

6. Выберите из приведенных на рис. 20 эпюр изгибающих моментов ту, которая соответствует схеме нагружения балки. Приведите схемы нагружения балки, которые соответствуют остальным эпюрам изгибающих моментов.

а)

q = 8 кН/м F = 5 кН