Вычисление кратных интегралов (стр. 2 из 3)
Вычисление объёма граничной ячейки довольно трудоёмко, ибо требует определения положения границы внутри ячейки. Можно вычислять интегралы по граничным ячейкам более грубо или вообще не включать их в сумму (6). Погрешность при этом будет
, и для хорошей точности потребуется более подробная сетка.Мы видели, что к области произвольной формы метод ячеек трудно применять; поэтому всегда желательно заменой переменных преобразовать область интегрирования в прямоугольный параллелепипед (это относится практически ко всем методам вычисления кратных интегралов).
2.3 Последовательное интегрирование
Снова рассмотрим интеграл по K-мерной области, разбитой сеткой на ячейки (рис. 2). Его можно вычислить последовательным интегрированием:
Каждый однократный интеграл легко вычисляется на данной сетке по квадратурным формулам типа:
Последовательное интегрирование по всем направлениям приводит к кубатурным формулам, которые являются прямым произведением одномерных квадратурных формул:
(11)Например, при K=2, если по каждому направлению выбрана обобщённая формула трапеций, а сетка равномерная, то веса кубатурной формулы равны
соответственно для внутренних, граничных и угловых узлов сетки. Легко показать, что для дважды непрерывно дифференцируемых функций эта формула имеет второй порядок точности, и к ней применим метод Рунге–Ромберга.Вообще говоря, для разных направлений можно использовать квадратурные формулы разных порядков точности
. Тогда главный член погрешности имеет вид: 
Желательно для всех направлений использовать квадратурные формулы одинакового порядка точности.
Можно подобрать веса и положение линий сетки так, чтобы одномерная квадратурная формула была точна для многочлена максимальной степени, т.е. была бы формулой Гаусса, тогда, для случая K=2:
(12)где
–нули многочленов Лежандра и соответствующие веса. Эти формулы рассчитаны на функции высокой гладкости и дают для них большую экономию в числе узлов по сравнению с более простыми формулами.
Произвольная область. Метод последовательного интегрирования можно применять к области произвольной формы, например, с криволинейной границей. Рассмотрим этот случай при K=2. Для этого проведём через область хорды, параллельные оси 
, и на них введём узлы, расположенные на каждой хорде так, как нам требуется (рис. 4). Представим интеграл в виде: 
Сначала вычислим интеграл по
вдоль каждой хорды по какой-нибудь одномерной квадратурной формуле, используя введённые узлы. Затем вычислим интеграл по 
; здесь узлами будут служить проекции хорд на ось ординат.При вычислении интеграла по
имеется одна тонкость. Если область ограничена гладкой кривой, то при 
длина хорды стремится к нулю не линейно, а как 
; значит, вблизи этой точки 
. То же будет при 
. Поэтому интегрировать непосредственно 
по формулам высокого порядка точности бессмысленно. Целесообразно выделить из основную особенность в виде веса 
, которому соответствуют ортогональные многочлены Чебышева второго рода.Тогда второе интегрирование выполняется по формулам Гаусса–Кристоффеля:
(13)где
, а 
и 
–нули и веса многочленов Чебышева второго рода.Чтобы можно было применять эту формулу, надо ординаты хорд на рис. 4 заранее выбрать в соответствии с узлами (13). Если это не было сделано, то придётся ограничиться интегрированием
по обобщённой формуле трапеций, причём её эффективный порядок точности в этом случае будет ниже второго.2.4 Кубатурная формула типа Симпсона
Пусть сначала область интегрирования есть K-мерный пространственный параллелепипед 
(рис. 5), стороны которого параллельны осям координат. Каждый из промежутков 
разобьём пополам точками: 
, где 
.Всего таким образом, получим
точек сетки. Имеем: 
(14)Находим K-мерный интеграл, вычисляя каждый внутренний интеграл по квадратурной формуле Симпсона на соответствующем отрезке. Проведём полностью все вычисления для случая K=2:
Применяя к каждому интегралу снова формулу Симпсона, получим:
или
(15)Формулу (15) будем называть кубатурной формулой Симпсона. Следовательно,
(15¢)где
– сумма значений подынтегральной функции 
в вершинах прямоугольника 
, 
– сумма значений в серединах сторон прямоугольника 
, 
– значение функции 
в центре прямоугольника . Кратности этих значений обозначены на рис. 5.Если размеры пространственного параллелепипеда
велики, то для увеличения точности кубатурной формулы область разбивают на систему параллелепипедов, к каждому из которых применяют кубатурную формулу Симпсона. 
Опять рассмотрим случай K=2. Положим, что стороны прямоугольника мы разделили соответственно на 
и 
равных частей; в результате получилась относительно крупная сеть 
прямоугольников (на рис. 6 вершины этих прямоугольников отмечены более крупными кружками). Каждый из этих прямоугольников в свою очередь разделим на четыре равные части. Вершины этой последней мелкой сети прямоугольников примем за узлы 
кубатурной формулы.