Методическое письмо Об использовании результатов государственной (итоговой) аттестации выпускников основной школы в новой форме в 2008 году в преподавании алгебры в общеобразовательных учреждениях (стр. 3 из 9)

В заданиях на преобразование алгебраических выражений лучший результат показан при выполнении действий со степенями с целым показателем (83%-89%). Кроме того, учащиеся в целом продемонстрировали знание некоторых правил преобразования целых выражений: формул сокращенного умножения, правила

и др.

Несколько выше, чем обычно, результат выполнения заданий на преобразование дробных выражений. Однако, скорее всего, он объясняется максимально простыми заданиями этого года, например,

. Но и с этими заданиями не справились от 20% до 30% выпускников 9 класса. Необходимо отметить, что на изучение данного материала выделяется достаточно большое время, уровень требований в учебном процессе довольно высок, а результаты, ежегодно получаемые в ходе экзамена, низкие. Это служит серьезным основанием для пересмотра всей методической системы изучения алгебраических дробей в основной школе. При этом необходимо учитывать, что реальный уровень, необходимый большинству школьников для изучения курса математики старших классов, вполне разумен и достигаем, и изучение этого вопроса должно строиться дифференцированно.

Таблица 5. Уравнения. Неравенства

№	Содержание задания	Познавательная категория	Выполнили верно (%)
1.	Решение линейных уравнений	алгоритм	69, 85¹
2.	Решение системы двух линейных уравнений с двумя переменными	алгоритм	69,74-81
3.	Вычисление абсцисс точек пересечения параболы с осью х, выбор решения, соответствующего условию	решение задачи	57,64-67
4.	Вычисление координат точек пересечения параболы и прямой, выбор решения, соответствующего условию.	решение задачи	49, 72¹
5.	Составление уравнения по условию текстовой задачи: 5.1. Задача на движение по шоссе 5.2. Задача на движение по реке	решение задачи	57, 78¹ 61-74
6.	Решение линейных неравенств с одной переменной	алгоритм	65, 79¹
7.	Решение квадратных неравенств с опорой на готовый график	алгоритм	59, 67¹
8.	Решение неполных квадратных неравенств	алгоритм	63-65, 73-75
9.	Применение свойств неравенств	знание / понимание	74-77, 83

Просмотр данных таблицы позволяет увидеть некоторые парадоксальные результаты. Простое линейное уравнение решено хуже, чем система линейных уравнений (обычно бывает наоборот). Решение квадратного неравенства с опорой на готовый график выполнено хуже, чем задание, в котором для ответа на вопрос приходится решать три неполных квадратных неравенства. Одна из самых простых задач на движение по шоссе решена хуже, чем более трудные задачи на движение по реке. Дело в том, что указанные низкие проценты получены по одной и той же выборке и могут объясняться лишь особенностями этой выборки, что затрудняет полноценный анализ результатов по соответствующим заданиям.

Что касается других заданий, то в целом проценты их верного выполнения находятся в прогнозируемых диапазонах (решение системы двух линейных уравнений с двумя переменными, составление уравнения по условию текстовой задачи (движение по реке), решение задачи на вычисление абсциссы точки пересечения параболы с осью х, решение неполных квадратных неравенств).

Как повторяется из года в год, основные ошибки при составлении уравнения по условию текстовой задачи связаны с незнанием зависимости между скоростью движения, временем движения и пройденным расстоянием.

В среднем несколько ниже планируемых результаты выполнения задания на применение свойств числовых неравенств. Один из вариантов такого задания приведен ниже :

Какое из следующих неравенств не следует из неравенства

2)
3)
4)

Неоднократные наблюдения за работой школьников в процессе выполнения экзаменационных и подобных им заданий дают основания сформулировать следующую причину ошибок: задание кажется настолько простым, что перенос членов неравенства учащиеся выполняют мысленно и при этом неизбежно ошибаются.

Таблица 6. Функции. Последовательности.

№	Содержание задания	Познавательная категория	Выполнили верно (%)
1.	Соотнесение графика функции с формулами	знание / понимание	65, 80¹
2.	Выяснение взаимного расположения в координатной плоскости гиперболы и прямой	решение задачи	64, 70-76
3.	Чтение графика функции	знание / понимание	65-66, 74-77
4.	Интерпретация графика реальной зависимости	практическое применение	52, 56¹
5.	Нахождение некоторого члена последовательности, заданной рекуррентной формулой.	знание / понимание	28, 36¹
6.	Владение понятием арифметической прогрессии, понимание ее графической интерпретации	знание / понимание	51, 62-64

Из приведенных данных видно, что для многих учащихся оказалось трудным задание, направленное на проверку знания расположения в координатной плоскости графика функции

. Можно предположить, что у этих учащихся не сформировано никакого из возможных алгоритмов распознавания графика, соответствующего заданной формуле. В то время как умение распознавать, используя для этого определения, свойства, относится к общеинтеллектуальным умениям и должно формироваться и на уроках математики. Кроме того, отсутствие у учащихся твердых знаний об особенностях расположения графика линейной функции в координатной плоскости будет существенно мешать содержательному овладению началами математического анализа в старших классах уже хотя бы в силу отсутствия наглядной опоры.

По большинству территорий были показаны достаточно близкие и несколько превышающие прогнозируемый уровень трудности результаты при выполнении задания на понимание взаимного расположения гиперболы и прямой:

Задание 2. Какая из прямых пересекает график функции

в двух точках?

2)
3)
4)

Если рассматривать этот факт с точки зрения тенденций в изменении подготовки девятиклассников по теме «Функции», то его следует оценить положительно. Дело в том, что наличие представлений об изучаемых графиках является важным и, безусловно, относится к минимальному набору базовых знаний. Если же говорить об учащихся, не справившихся с этим заданием (от 25% до 35%), то у них, отсутствуют представления о расположении в координатной плоскости основных графиков в зависимости от значений коэффициентов, входящих в соответствующую формулу. Это еще раз подтверждает выводы, сделанные при анализе предыдущего задания.

Результаты выполнения задания на чтение графика функции существенно различаются по территориям. Для некоторых территорий оно оказалось реально трудным, а для других попало в планируемую категорию заданий средней трудности. Анализ выбора ответов показывает, что учащиеся путают абсциссу и ординату точки, неправильно трактуют такую запись, как

, при нахождении наименьшего значения функции выбирают нижнюю точку графика на оси у. Иными словами, вообще не обладают навыками восприятия готового графика как целостного объекта с характерными свойствами.

Задача, в которой нужно было выполнить некоторые вычисления, сняв данные с реального графика, оказалась трудной. Кроме того, анализ результатов показывает, что вопрос в одном из вариантов оказался более простым – например, в одной из территорий на него правильно ответили вдвое больше учащихся в сравнении с результатами выполнения других вариантов. Приходится констатировать, что при решении этой задачи учащиеся оказались не в равных условиях. В трех вариантах из четырех учащимся была предложена несколько более сложная вычислительная задача, что и привело к таким низким результатам.

Результаты по блоку «Последовательности и прогрессии» низкие. Решение задачи на арифметическую прогрессию было связано с пониманием представления членов арифметической прогрессии точками на координатной плоскости. Планируемый диапазон трудности этой задачи – от 60% до 70% (в силу ее новизны для экзамена). Результаты по территориям (кроме одной) мало различаются, находятся в диапазоне 62-64%, что соответствует прогнозируемому диапазону. Необходимо заметить, что у выпускников часто возникают трудности, когда требуется перейти с одного математического языка на другой, когда речь идет о некоторой интерпретации. Это, безусловно, указывает, на проблемные места в математической подготовке школьников.