Методическое письмо Об использовании результатов государственной (итоговой) аттестации выпускников основной школы в новой форме в 2008 году в преподавании алгебры в общеобразовательных учреждениях (стр. 9 из 9)
■ П р и м е р 4. Найдите все значения k, при которых прямая у = kx пересекает в трех различных точках ломаную, заданную условиями
. Построим заданную ломаную и проведем «граничные» прямые, которые задаются уравнениями у = kx (рис. 2). Одна из этих прямых проходит через точку (2; 1), а вторая параллельна прямым у = 2х + 5 и у = 2х – 3. Уравнение первой прямой  , второй – у = 2х. Из рисунка видно, что все прямые, проходящие через |  Рис. 2 |
начало координат, находящиеся «между» этими двумя прямыми, пересекают ломаную в трех точках. Ответ:
. ■В задачах, где уравнения, формулы содержат буквенные коэффициенты, часто можно использовать графические соображения, как это было сделано в рассмотренном примере. Например, пусть требуется найти все значения а, при которых неравенство
не имеет решений. Рассуждать можно так. График трехчлена в левой части неравенства – это парабола, ветви которой направлены вверх. Переформулируем поставленный вопрос: нужно найти все значения а, при которых парабола расположена выше оси х. Теперь понятно, что нужно решить неравенство D < 0. Опираясь точно так же на наглядные представления, можно рассуждать иначе: вершина параболы должна находиться в верхней полуплоскости, поэтому задача сводится к решению неравенства у0 > 0, где у0 – ордината вершины параболы.Как уже говорилось, многие задания допускают разные способы решения. Даже текстовые задачи, для которых основным способом решения является алгебраический, в ряде случаев могут быть решены арифметически.
■ П р и м е р 5. Решим задачу. Автобус отправился из пункта А в пункт В. Одновременно навстречу ему из В в А выехал велосипедист. Через 40 мин они встретились, и каждый продолжил движение в своем направлении. Автобус прибыл в пункт В через 10 мин после встречи. Через какое время после встречи прибыл в А велосипедист?
Будем рассуждать так. На путь после встречи автобус затратил в 4 раза меньше времени, чем на путь до встречи. Если точку встречи обозначить буквой С, то из сказанного следует, что АС в 4 раза больше, чем ВС. Значит, велосипедист после встречи проехал расстояние, в 4 раза большее, чем до встречи, а значит, он затратил на него 40∙4=160 (мин).
Ответ: через 2 ч 40 мин
Ссылки
Со всеми материалами, которые разрабатываются в целях обеспечения проведения государственной (итоговой) аттестации по алгебре в 9 классе и анализа получаемых результатов, можно знакомиться на сайте http://www.fipi.ru. На нем размещены следующие материалы:
- документы, регламентирующие разработку КИМ для ГИА по алгебре 2009 г. (кодификатор элементов содержания, спецификация и демонстрационный вариант экзаменационной работы);
- учебно-методические материалы для членов и председателей региональных предметных комиссий по проверке выполнения заданий с развернутым ответом экзаменационных работ выпускников 9-х классов 2009 г.;
- перечень учебных изданий, рекомендуемых ФИПИ для подготовки к экзамену.
[1] Здесь и далее: это задание выполнялось в двух территориях, поэтому указан не диапазон, а средние результаты по каждой из них. В одной из этих территорий, где результат выше, в экзамене участвовала небольшая выборка девятиклассников, и, как показывают результаты, с хорошей математической подготовкой. Полагаем, что в отчете эти результаты должны быть представлены, но суммировать их с другими, полученными на больших массивах учащихся, нецелесообразно.
[2]Фактически во второй части работы представлены задания трех уровней (см. п. 1 отчета), что и отражено в данной таблице.