Методическое письмо Об использовании результатов единого государственного экзамена 2008 года в преподавании математики в образовательных учреждениях среднего (полного) общего образования (стр. 3 из 5)
Как и в предыдущие годы, типичными при выполнении заданий базового уровня сложности (часть 1 КИМ) являются ошибки, связанные с незнанием свойств степеней, логарифмов и радикалов; с неумением применить стандартные методы решения простейших уравнений и неравенств.
Хуже других тем и разделов усвоены преобразования тригонометрических выражений и решение иррациональных уравнений.
Большинство учащихся, показавших хороший уровень математической подготовки, как и в прошлом году, в среднем справились с 2-3 алгебраическими заданиями из 7 заданий повышенного уровня сложности. При этом от 16% до 31% сумели решить и грамотно записать полученное решение при выполнении заданий повышенного уровня с развернутым ответом (С1 и С2), включенных в варианты КИМ 2008 г. Результаты, показанные этой группой выпускников, свидетельствуют о значительном потенциале, которым они обладают, и позволяют предполагать, что целенаправленная работа в процессе обучения с такими учащимися будет способствовать повышению качества их математической подготовки.
Проиллюстрируем конкретными примерами, какие недочеты выявились у «хорошистов» при выполнении заданий повышенного уровня сложности. Они успешно справляются с решением уравнений (показательных, логарифмических и иррациональных) методом замены (см. примеры 1-4).
| Пример 1. | Решите уравнение  . (Если уравнение имеет более одного корня, то в бланке ответов запишите их произведение.) | 41% |
| Пример 2. | Решите уравнение  + 7  – 8 = 0. (Если уравнение имеет более одного корня, то в бланке ответов запишите произведение всех его корней.) | 33% |
| Пример 3. | Решите уравнение  (Если уравнение имеет более одного корня, то в бланке ответов запишите произведение всех его корней.) | 31% |
Более низкие результаты показаны этими учащимися при выполнении «похожего» уравнения (см. пример 4).
| Пример 4. | Решите уравнение  . (Если уравнение имеет более одного корня, то в бланке ответов запишите их сумму.) | 19% |
Отметим, что в примере 4, кроме замены, аналогичной замене, которую нужно сделать при решении примеров 1-3, нужно применить понятие степени с дробным показателем. В остальных шагах решения выпускник должен применить известный метод. Но даже такое незначительное изменение влечет за собой снижение результата. Этот пример показывает, что группа выпускников, показавшая хорошую подготовку, все же более успешно воспроизводит известные методы решения, чем видоизменяет их. Это же наблюдение подтверждается и при анализе результатов выполнения заданий повышенного уровня с развернутым ответом (С1-С2).
Как и в прошлом году, «хорошисты» не справились с заданиями (см. примеры 5-6), где при решении нужно применить определение периодической функции (справились чуть более 30 % участников экзамена).
| Пример 5. | Функция  определена на всей числовой прямой и является периодической с периодом 5. На промежутке  она задается формулой  . Найдите значение выражения  . | 19% |
| Пример 6. | Функция  определена на всей числовой прямой и является периодической с периодом 7. На промежутке  она задается формулой  . Найдите значение выражения  . | 16% |
Заметим, что похожий пример, включенный в варианты КИМ в 2007 году, но содержащий в условии рисунок (часть графика периодической функции), выполнялся более успешно (справились более 50% выпускников, получивших отметку «4»). Это сравнение показывает, что даже хорошо подготовленные выпускники лучше ориентируются в ситуации, если есть опора на наглядные образы математического объекта.
Как и в 2007 году, выпускники 2008 года, показавшие отличный уровень подготовки, справляются со всеми заданиями базового уровня сложности, а также со всеми заданиями повышенного уровня сложности. Из них от 80% до 97% выполняют верно задания повышенного уровня сложности с кратким ответом и от 78% до 92% – правильно решают задания повышенного уровня сложности с развернутым ответом. Выборочная перепроверка работ выявила ошибки и недочеты, которые допускают выпускники, приступающие к выполнению этих заданий. В 2008 г. были включены задания, где нужно было найти наибольшее (наименьшее) значение функции и текстовая задача, для решения которой нужно было составить модель-уравнение (см. примеры 7-10).
| Пример 7. | Найдите все значения х, при каждом из которых выражения  и  принимают равные значения. | 92% |
| Пример 8. | Найдите все значения х, при каждом из которых выражения  и  принимают равные значения. | 84% |
| Пример 9. | Найдите наибольшее значение функции  . | 81% |
| Пример 10. | Найдите наибольшее значение функции  | 79% |
Основная ошибка при выполнении примеров 7-8 состояла в том, что выпускники считали окончательным ответом корни уравнения-следствия, т.е. в их решении отсутствовал один из шагов – отбор корней, удовлетворяющих уравнению, составленному по условию задачи.
На этот этап при обучении решению уравнений нужно обратить серьезное внимание, т.к. эту же ошибку допустили выпускники и при решении других видов уравнений повышенного уровня сложности с кратким ответом. Очевидно, если бы при решении уравнения выпускники следили за равносильностью преобразований уравнений, то уменьшилась бы вероятность возникновения указанной ошибки.
При выполнении примеров 9-10 характерны разнообразные ошибки: и в преобразовании выражений, и в вычислениях, и в применении формулы производной, и др.
Результаты выполнения заданий по геометрии
Согласно плану составления вариантов КИМ в работу были включены две задачи по геометрии повышенного уровня сложности. Как и в предыдущие годы, в 2008 году по этим задачам были получены низкие результаты – от 2% до 24% верных ответов по вариантам КИМ, причем с этими задачами справляется лишь категория учащихся с «высокой» (отметка «5») математической подготовкой. По подавляющему большинству задач правильные ответы получили более 60% таких учащихся. Из учащихся с хорошей математической подготовкой менее 20% экз. успешно решали эти задачи.
Таким образом, при сдаче ЕГЭ геометрические задачи позволяют выявить наиболее подготовленных по математике учащихся. Вместе с тем низкие результаты говорят о неблагополучном положении с геометрической подготовкой школьников, что требует анализа причин таких результатов.
Отметим, что в 2002-2008 гг. в экзаменационной работе задачи по геометрии были предназначены для абитуриентов. При выставлении аттестационной оценки результаты выполнения геометрических заданий не учитывались. Как показывает опыт проведения ЕГЭ, учащиеся с «низкой» математической подготовкой, а также многие учащиеся с «хорошей» подготовкой, которым не нужно сдавать математику при поступлении в вуз, даже не приступают к решению геометрических задач. Кроме того, только около трети учащихся, приступающих к решению задач, получают верный ответ к стереометрическим задачам, а по планиметрии доля верных ответов еще меньше.
Выяснение причин неуспеха при решении геометрических задач ЕГЭ начнем с рассмотрения их особенностей.
Во-первых, все геометрические задачи в вариантах КИМ вычислительные, поэтому для их успешного решения должен быть отработан аппарат стандартных вычислений. В большинстве задач применяются теорема Пифагора, определения синуса, косинуса и тангенса острого угла, теорема косинусов (реже – синусов), требуется вычислить элементы подобных треугольников.
Во-вторых, несмотря на то, что задачи вычислительные, для их решения важно твердое владение теоретическим материалом. Хотя от учащихся и не требуется умение грамотно записывать решение и приводить обоснования, но необходимо владеть свойствами заданных плоских и пространственных фигур, применять эти свойства в ходе вычислений, а также для распознавания и построения заданных конфигураций.