Методическое письмо Об использовании результатов единого государственного экзамена 2008 года в преподавании математики в образовательных учреждениях среднего (полного) общего образования (стр. 4 из 5)
В-третьих, для успешного решения предложенных задач нужно уметь выделять стандартные конфигурации и применять несколько изученных свойств, относящихся к разным разделам курса геометрии.
В 2008 году основной шаг решения задач по теме «Треугольники» состоял в выявлении подобных треугольников, получающихся после соединения отрезком вершины треугольника с точкой противолежащей стороны. Основным шагом решения задач по теме «Параллелограмм» являлось распознавание подобных треугольников и применение теоремы об отношении их площадей. В решении задач на вычисление длины отрезка в ромбе основным шагом было нахождение отношения отрезков с использованием свойства биссектрисы треугольника. Основным шагом решения задач по теме «Трапеция» было построение прямоугольного треугольника (надо было провести прямую, параллельную одному из заданных отрезков).
В зависимости от способа решения конкретной задачи нужно было уметь применить 1–2 факта из следующего перечня:
·признаки подобия треугольников и следующая из подобия пропорциональность соответствующих сторон;
·метрические соотношения в прямоугольном треугольнике;
·формулы площади треугольника;
·отношение площадей треугольников, имеющих общую высоту;
·теорема Пифагора;
·определение синуса и косинуса, угла прямоугольного треугольника (решение прямоугольных треугольников).
В-четвертых, «ключевым моментом решения» геометрических задач повышенного уровня сложности в вариантах КИМ является использование определения или свойства фигуры в несколько измененной ситуации. Поэтому учащийся должен обладать достаточно гибким мышлением, позволяющим осуществлять перенос стандартных умений в измененную ситуацию. Решение каждой задачи требовало комплексного выполнения, как правило, 1–2 основных шагов и применения 1-2 фактов, обеспечивающих нахождение искомых величин.
Задания по теме «Треугольники» были представлены одним типом задач. В качестве примера рассмотрим одну планиметрическую задачу из этой темы: «На стороне НК треугольника НКО отмечена точка С так, что НС = 6, СК = 12, ÐСОН = ÐОКН. Найдите площадь треугольника ОНС, если ÐН = 60°».
Решение задач такого типа основано на рассмотрении подобных треугольников (их подобие устанавливается с помощью первого признака подобия). Эти задачи по планиметрии в ЕГЭ 2008 г. оказались наиболее трудными. Получить верный ответ смогли только 2% всех учащихся, решавших соответствующие варианты КИМ. Следует отметить, что подобные задачи предлагались на ЕГЭ несколько лет назад, но и тогда процент верных ответов был весьма небольшой. Для изменения ситуации учителям следует обратить внимание на такую достаточно простую конфигурацию и обязательно рассматривать аналогичные задачи при изучении подобия треугольников.
В 2008 году, как и в прошлые годы, в каждый вариант КИМ была включена одна стереометрическая задача повышенного уровня. Эти задачи были составлены по темам «Прямая призма» и «Цилиндр». Проверялось знание свойства указанных пространственных фигур, умение применять эти свойства для вычисления искомых элементов фигур, а также знание формул для вычисления объемов цилиндра и конуса, площадей их боковых поверхностей и сечений. Кроме того, проверялось владение понятиями угла между плоскостями и расстояния между скрещивающимися прямыми (последнее в наиболее простом варианте: скрещивающиеся прямые содержат ребра оснований прямой призмы).
В варианты 2008 года входили две серии задач на прямую призму. Ключевым моментом решения почти всех задач первой серии являлось применение понятия угла между плоскостями и построение его линейного угла. Например, «Основание прямого параллелепипеда ABCDA1B1C1D1 – параллелограмм ABCD, в котором AD
и ÐD 
. Тангенс угла между плоскостью основания и плоскостью B1CD равен 0,5. Найдите боковое ребро параллелепипеда».Ключевым моментом решения задачи было построение линейного угла заданного двугранного угла. А вычисления были основаны на решении прямоугольных треугольников: рассматривался прямоугольный треугольник, составленный боковым ребром призмы, высотой сечения и ее проекцией на плоскость основания призмы.
Следует отметить, что задачи этой серии, хоть и не являются типичными и часто использующимися в практике преподавания, однако и незнакомой данную в них конфигурацию назвать нельзя. Для успешного решения таких задач достаточно было владеть основными понятиями стереометрии и уметь решать прямоугольные треугольники. Выпускники так же плохо справились с этими задачами, как и с задачами по планиметрии, хотя у сильных учащихся результаты существенно лучше, чем по планиметрическим заданиям.
Рекомендации по совершенствованию методики преподавания математики с учетом результатов ЕГЭ 2008 года
Результаты экзамена выявили ряд нерешенных проблем, характерных для подготовки различных категорий выпускников. О некоторых проблемах совершенствования обучения математике говорилось в методических письмах прошлых лет:
· ориентация на прочное усвоение базовых требований к математической подготовке;
· дифференциация обучения, разработка стратегии обучения и подготовки к выпускному экзамену с учетом достигнутого учащимся уровня образовательных достижений;
· применение различных средств обучения, в том числе, наглядных, направленных на обеспечение прочности овладения изучаемым материалом различными категориями учащихся;
· ориентация на развитие математического мышления и др.
В настоящем письме нельзя не сказать о давней проблеме, которая достаточно остро встает во время итоговой аттестации – это существенное различие в количестве двоек, которое выставляется старшеклассникам по итогам работы в полугодиях в 10-11 классах, и количестве двоек, получаемых выпускниками при сдаче ЕГЭ (19%-23% в различные годы проведения экзамена).
Ни для кого не секрет, что школьная оценка выполняет различные функции, в том числе, и воспитательные. Иногда, в текущем контроле, учитель выставляет ученику положительную оценку для того, чтобы показать динамику продвижения от незнания к неполному, неточному, частично верному знанию. Тем самым, учитель дает сигнал слабо подготовленному выпускнику, что его старания заметили. Но в то же время здесь важно поставить перед учеником перспективную задачу: каких реальных результатов ему нужно добиться (какими знаниями и умениями он должен овладеть), чтобы его математическая подготовка получила объективную положительную оценку.
Пока в текущем контроле не будет доминировать оценка овладения требованиями, зафиксированными в нормативных документах, а не оценка хорошего поведения или прилежания, не исчезнет и проблема рассогласования в выставлении удовлетворительной оценки в течение года и на итоговом контроле в выпускном классе.
В принятой в школах системе контроля имеются и механизмы, которые позволят объективизировать оценку. Например, проведение письменных работ (самостоятельные, контрольные, зачеты), где ученик предъявляет не только ответы, но и решения заданий. Здесь объективно и точно можно зафиксировать правильность ответа и допущенные ошибки. А воспитывающая функция оценки в большей степени может относиться к промежуточным видам контроля, организуемым при индивидуальном опросе или в ходе фронтальной работы со всем классом.
Кроме проблемы, связанной с повышением объективности оценивания подготовки учащихся, обратим внимание учителей математики на те материалы ЕГЭ, которые можно активно использовать в повседневной работе. Например, использовать для ориентации в процессе обучения систему заданий, отобранных при проведении единого экзамена, которые характеризуют требования базового уровня стандарта 2004 г..
Особое внимание уделим проблемам преподавания геометрии.
Из сказанного выше следует, что для обеспечения успешного выполнения учащимися геометрических заданий повышенного уровня сложности, подобных включавшимся в варианты КИМ 2002-2008 гг., чрезвычайно важным является решение в процессе обучения геометрии следующих дидактических проблем:
· обеспечить усвоение учащимися базовых знаний, формирование у них умений применять эти знания в стандартной ситуации;
· сформировать системные знания о геометрических фигурах, которые изучаются в школьном курсе;
· обеспечить знакомство с достаточно широким спектром ситуаций применения геометрических фактов;
· развивать гибкость мышления, способность анализировать предлагаемую конфигурацию и вычленять в ней части, рассмотрение которых позволяет найти путь решения задачи.
Первая из указанных проблем – это достижение обязательных требований к математической подготовке школьников. На решение этой проблемы в первую очередь должны быть направлены усилия учителя. О том, как более эффективно решать задачу систематизации знаний учащихся, много говорилось в методическом письме 2006 года. При этом подчеркивалась большая роль повторения материала, систематизированного по изученным геометрическим фигурам.
Третья и четвертая проблемы довольно тесно связаны, поскольку рассмотрение различных ситуаций применения одного и того же геометрического факта не только работает на запоминание возможных ситуаций, требующих его использования, но и способствует формированию потребности и способности анализировать особенности предлагаемой в задаче ситуации.
Отработку умения применять некий геометрический факт в различных ситуациях можно обеспечить, решая много различных задач. Этому мешает дефицит учебного времени. Поэтому для экономии времени целесообразно решать задачи по готовым чертежам. При этом достаточно потребовать от учащихся только назвать или сформулировать необходимую для решения теорему (определение) или свойство, но не выполнять само решение.