Такой же подход можно применить и в ходе обучения стереометрии. Например, если говорить об углах и расстояниях в пространстве – материале, который из года в год используется в задачах вариантов ЕГЭ и ранее предлагался на вступительных экзаменах многих вузов, и который традиционно вызывает трудности у учащихся, то можно рекомендовать при изучении каждого конкретного многогранника или тела вращения рассматривать расстояния и углы между различными элементами этих фигур (прямыми и плоскостями). Например, на доске изображаются несколько пирамид разного вида. Учащиеся должны изобразить линейный угол искомого двугранного угла и кратко записать шаги построения, продумать обоснования. Затем несколько учеников на доске выполняют соответствующие дополнительные построения, и фронтально проводится обсуждение необходимых обоснований. Подобная работа будет способствовать развитию гибкости мышления и формированию представлений о различных ситуациях, связанных с углом между рассматриваемыми плоскостями, и принесет больше пользы, чем решение полноценной задачи, посвященной одной нестандартной конфигурации.
При изучении фигур (треугольников, многоугольников, многогранников, тел вращения) можно идти в противоположном направлении: анализировать конфигурацию и отвечать на вопрос о том, какие геометрические величины здесь можно вычислить и какими способами. Например, если в трапеции провести две высоты, то появятся прямоугольные треугольники, гипотенузами которых являются боковые стороны, а если провести высоту и диагональ, – то прямоугольный треугольник, гипотенузой которого является диагональ. В этих треугольниках можно применять теорему Пифагора и определения тригонометрических функций острых углов. Заметим, что в зависимости от того, в какой последовательности соответствующий материал изучается, такую работу можно проводить или непосредственно в ходе изучения материала, или только при повторении, когда уже изучены все необходимые факты. Так, указанные выше свойства трапеции, как правило, в момент прохождения темы «Трапеция» еще не изучены, и здесь речь может идти только об итоговом повторении.
Введение определений расстояний и углов в пространстве происходит, как правило, до изучения пространственных фигур. Поэтому при введении этих понятий ограничены возможности нахождения соответствующих величин в многогранниках и телах вращения. В свою очередь, при изучении фигур времени на детальную отработку всех фактов, используемых для решения задач на изучающуюся фигуру, конечно недостаточно. Как правило, учащиеся успевают решить несколько типичных задач и некоторое число нетипичных. Например, при изучении пирамиды более или менее можно успеть отработать применение понятий угла между плоскостью основания и плоскостью боковой грани, угла между плоскостью основания и боковым ребром в правильной пирамиде. В то же время на экзамене могут предлагаться углы и расстояния в пирамиде в ситуациях, отличных от рассмотренных. Поэтому даже несложные, но нестандартные задачи такого рода посильны только самым подготовленным учащимся. В связи с этим при изучении углов и расстояний можно рекомендовать усилить внимание к этим вопросам в двух направлениях.
Можно предлагать учащимся задания на распознавание углов и расстояний в пирамидах общего вида, параллелепипедах, конусах и цилиндрах, так как в 5-6 классах, а затем в 9 классе в курсе геометрии рассматривались эти виды фигур, и учащиеся имеют о них представление. Но больший эффект, конечно, дадут подобные задания при изучении каждой конкретной фигуры и, а также при итоговом повторении.
Об организации учебного процесса в пояснительной записке к Программе по математике для средней школы говорится, что учебный процесс должен быть организован так, чтобы все учащиеся освоили материал курса на обязательном уровне и, кроме того, чтобы обучение способствовало «удовлетворению потребностей и запросов школьников, проявляющих интерес, склонности и способности к математике. Такие школьники должны получать индивидуальные задания (и в первую очередь нестандартные математические задачи), их следует привлекать к участию в математических кружках, олимпиадах, факультативных занятиях; желательно рекомендовать им дополнительную литературу». Отдельные задачи можно включать и в общую работу на уроке. Знакомство с ними расширит область нестандартных ситуаций применения изученных геометрических сведений. Однако при этом важно продумать и систему проверки решения этих задач, а также организацию консультативной помощи учащимся по решению дополнительных задач.
1 Познакомиться с документами, регламентирующими разработку ЕГЭ 2009 г. по математике, можно на портале информационной поддержки проекта «Единый государственный экзамен» http://ege.edu.ru, а также на сайте Федерального института педагогических измерений http://www.fipi.ru
[2] Состояние математической подготовки учащихся оценивается на основе результатов выполнения всех заданий работы